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立体几何——向量复习讲义 一、复习目标： 了解空间向量的基本定理，掌握空间向量的运算法则，熟练掌握空间向量的数量积公式，能运用它们进行运算和论证． 二、知识要点： 1．共线向量、共面向量、垂直向量； 2．空间向量基本定理； 3．空间向量的运算法则； 4．空间向量的数量积公式（夹角公式）； 5．平面的法向量． 三、主要题型： 通过建立空间直角坐标系，证明线线平行与垂直，计算空间的角与距离． 四、基础训练 1．在正方体中，下列各式中运算的结果为向量的共有（ ） ①； ②； ③； ④ 个 个 个 个 2．已知空间四边形的对角线为、，、分别是、的中点，点分所成的比为，现用基向量、、表示，设，则的值分别为 （） 3．若向量和不共线，向量垂直于和，，且则（） 与不平行也不垂直 以上三种情况都有可能 4．设为空间任意一点，若，则、、、四点（） 一定不共面 一定共面 不一定共面 无法判断 五、例题分析： 例1．已知垂直于正方形所在平面，，是的中点，（1）建立适当的坐标系，写出点的坐标；（2）在平面内求一点，使平面． 例2．已知在四面体中，,,,平面（Ⅰ）若为的重心，试证明：；（Ⅱ）试问：（Ⅰ）的逆命题是否成立？并证明你的结论． 例3．如图直三棱柱中，底面是以为直角的等腰直角三角形，，，为的中点，为的中点（1）求直线与所成的角；（2）在线段上是否存在点，使平面？若存在，求出，若不存在，说明理由． 作业：1．空间四边形的对角线为、，设、分别是、的中点，则等于 2．已知三个力：，，，若这三个力共同作用在一个物体上，使物体从点移到点，则合力所做的功为 3．在正方体中，为的中点，为底面的中心，为棱 上任意一点，则直线与直线所成的角是 4．已知△中，，为平面上任一点，点分别使，，则下列命题中真命题是 向量（）所在射线必过的重心 直线必过的外心 直线的方程是 5．点关于原点的对称点的坐标为 ． 6．与点、点两点距离相等的点满足的条件为 ． 7．已知点、，为线段上一点，且，则点的坐标为 ． 8．在直三棱柱中，，，，、分别是、的中点． （1）求的长； （2）求与所成的角； （3）求证：． 9．如图在四棱锥中底面是一直角梯形，，，，，面，与底面成角为．（1）若，为垂足，求证：； （2）求异面直线与所成的角． 10．如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，且腰长为、分别是与的中点，点在平面上的射影是重心． 求面与 面所成的二面角的大小结果用反三角函数值表示（2）求点到平面的距离． ― 第5页 共5页 ― P G D C B A