第09章 曲线积分与曲面积分习题详解.pdf

第九章 曲线积分与曲面积分习题详解 第九章 曲线积分与曲面积分 习题9-1 1 计算下列对弧长的曲线积分： 2 2 1 1 （1） I xds，其中 L是圆 x + y 1中 A 0,1 到 B , ? 之间的一段劣弧； ∫L 2 2 解: L AB的参数方程为： y π π A x cosθ, y sinθ ? ≤θ≤ ，于是 4 2 π C 2 2 2 I ∫?π cosθ ?sinθ + cos θdθ o x 4 B π 1 2 cosθdθ 1 + ． ∫?π 4 2 （2） ∫L x+ y+1 ds，其中 L是顶点为O 0, 0 , A 1, 0 及 B 0,1 所成三角形的边界； 解: L是分段光滑的闭曲线，如图 9－2 所示，根据积分的可加性， y 则有 B 0,1 ∫L x+ y+1 ds o A 1, 0 x ∫OA x+ y+1 ds +∫AB x+ y+1 ds +∫BO x+ y+1 ds， 由于OA: y 0 ，0 ≤ x≤1，于是 dx 2 dy 2 2 2 ds + dx 1 +0 dx dx， dx dx 1 3 故 x+ y+1 ds x+0 +1 dx ， ∫OA ∫0 2 而 AB: y 1 ? x,0 ≤ x≤1，于是 dx 2 dy 2 2 2 ds +