第八章 常微分方程数值解法考试必备.ppt

* 第8章 常微分方程数值解法 §1.1 为什么要研究数值解法 一阶常微分方程初值问题的一般形式为 y? ? x,y ,a?x?b §1 引言 8.1 y a ? 其中? x,y 是已知函数,?为给定的初值. 如果函数? x,y 在区域?a?x?b,-? y 上连续且关于y满足Lipschitz条件 其中L 0为Lipschitz常数,则初值问题 8.1 有唯一解. 方程 8.1 的解法可分为两类：解析解法与数值解法。 解析解法就是求出解函数y x 满足 8.1 ，在图形上是一条积分曲线，但非常困难。 数值解法就是在若干离散点处计算解函数的近似值，而不必求出解函数的解析表达式。本章主要讨论数值解法。 所谓数值解法,就是设法将常微分方程离散化,建立差分方程,给出解在一些离散点上的近似值. a x0 x1 x2 … xn … xN b 其中剖分节点xn a+nh,n 0,1,…,N, h称为剖分步长.数值解法就是求精确解y x 在剖分节点xn上的近似值yn?y xn , n 1,2,…,n. 假设初值问题 8.1 的解y y x 唯一存在且足够光滑.对求解区域[a,b]做剖分 我们采用数值积分方法来建立差分公式. §1.2 构造数值解法的基本思想 在区间[xn,xn+1]上对方程 8.1 做积分,则有 对右边的积分应用左矩形公式，则有 梯形公式 o x y a b 左矩形公式 y ? x 右矩形公式 中矩形公式 对右边的积分应用左矩形公式，则有 因此，建立节点处近似值yn满足的差分公式 称之为Euler公式. 称为梯形公式. 若对 8.2 式右边的积分应用梯形求积公式，则可导出差分公式 利用Euler方法求初值问题 解 此时的Euler公式为 称为Euler中点公式或称双步Euler公式. 若在区间[xn-1,xn+1]上对方程 8.1 做积分,则有 对右边的积分应用中矩形求积公式，则得差分公式 例1 的数值解.此问题的精确解是y x x/ 1+x2 . 分别取步长h 0.2 ,0.1 ,0.05,计算结果如下 0.00000 -0.00804 -0.01268 -0.00892 -0.00481 -0.00227 0.00000 0.34483 0.48780 0.49180 0.44944 0.40000 0.00000 0.35287 0.50049 0.50073 0.45425 0.40227 0.00 0.40 0.80 1.20 1.60 2.00 h 0.05 0.00000 -0.01603 -0.02590 -0.01781 -0.00928 -0.00419 0.00000 0.34483 0.48780 0.49180 0.44944 0.40000 0.00000 0.36085 0.51371 0.50961 0.45872 0.40419 0.00 0.40 0.80 1.20 1.60 2.00 h 0.1 0.00000 -0.03148 -0.05448 -0.03529 -0.01689 -0.00682 0.00000 0.34483 0.48780 0.49180 0.44944 0.40000 0.00000 0.37631 0.54228 0.52709 0.46632 0.40682 0.00 0.40 0.80 1.20 1.60 2.00 h 0.2 y xn -yn y xn yn xn h Euler中点公式则不然, 计算yn+1时需用到前两步的值yn , yn-1 ,称其为两步方法,两步以上的方法统称为多步法. 在Euler公式和梯形公式中,为求得yn+1,只需用到前一步的值yn,这种差分方法称为单步法,这是一种自开始方法. 隐式公式中,每次计算yn+1都需解方程,要比显式公式需要更多的计算量,但其计算稳定性较好. 在Euler公式和Euler中点公式中,需要计算的yn+1已被显式表示出来,称这类差分公式为显式公式,而梯形公式中,需要计算的yn+1隐含在等式两侧,称其为隐式公式. 从数值积分的角度来看,梯形公式 计算数值解的精度要比Euler公式好,但它属于隐式公式,不便于计算. 实际上,常将Euler公式与梯形公式结合使用: §2 改进的Euler方法和Tayl