3.差分方程建模.ppt

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差分方程模型 3.汽车租赁公司的运营 一家汽车租赁公司在3个相邻的城市运营,为方便顾客起见公司承诺,在一个城市租赁的汽车可以在任意一个城市归还。根据经验估计和市场调查,一个租赁期内在A市租赁的汽车在A, B, C市归还的比例分别为0.6, 0.3, 0.1;在B市租赁的汽车在A, B, C市归还的比例分别为0.2, 0.7, 0.1;在C市租赁的汽车在A, B, C市归还的比例分别为0.1, 0.3, 0.6。若公司开业时将N辆汽车按一定方式分配到3个城市,建立运营过程中汽车数量在3个城市间转移的模型,并讨论时间充分长以后的变化趋势。 模型及其求解: 记第k个租赁期末公司在A, B, C市的汽车数量分别为x1(k), x2(k), x3(k) ,容易写出第k+1个租赁期末公司在A, B, C市的汽车数量为(k=0,1,2, …) 模型分析 猜想:时间充分长以后3个城市的汽车数量趋向稳定,并且稳定值汽车的初始分配无关。为了证实该猜想,记稳定值为x,由x应满足?表明矩阵A的一个特征根 l=1,且x是对应的特征向量。 MATLAB演示计算: 初始分配:城市1:200,城市2:200 ,城市3:200;计算并作图,程序如下: A=[0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6]; x(:,1)=[200,200,200];???????????????? % 赋初值 n=10; for k=1:n ??? x(:,k+1)=A*x(:,k);???????????????? % 迭代计算 end round(x), k=0:10; plot(k,x),grid, 4.动物养殖问题 养殖场养殖一类动物最多3年(满三年的将送往市场卖掉),按一岁、二岁和三岁将其分为三个年龄组。一岁组是幼龄组,二岁组和三岁组是有繁殖后代能力的成年组。二岁组平均一年繁殖4个后代,三岁组平均一年繁殖3个后代。一龄组和二龄组动物能养殖成为下一年龄组动物的成功率分别为0.5和0.25。假设刚开始养殖时有三个年龄组的动物各1000头,试计算(1)一年后、二年后、三年后各年龄段动物数量。(2)五年后农场三个年龄段的动物的情况会怎样?(3)如果每年平均向市场供应动物数c=[s s s]T,考虑每年都必须保持有每一年龄的动物前提下,c应取多少为好?是否有最佳方案? 模型建立: 由题设,在初始时刻一岁、二岁、三岁的动物数量分别为: X1(0)=1000, X2(0)= 1000, X3(0)= 1000 以一年为一时间段,则某时刻三个年龄段的动物数量可用向量 X=[x1 x2 x3]T 表示。用向量 X(k) = [x1(k) x2(k) x3(k)]T表示第k个时间段动物数分布。 建立数学模型如下 由此得向量X(k)和X(k+1)的递推关系式 X(k+1) = LX(k) 2.计算五年内动物数量变化规律 x0=[1000;1000;1000]; L=[0 4 3;1/2 0 0;0 1/4 0]; X=x0; x(1)=X(1);y(1)=X(2);z=X(3); for k=2:6 X=L*X; x(k)=X(1);y(k)=X(2);z(k)=X(3); end t=0:5; bar(t,x), figure,bar(t,y) figure,bar(t,z) 三龄组动物五年数量变化直方图 3.如果每年平均向市场出售动物c=[s s s]’,分析动物数分布向量变化规律可知 X(1) = AX(0) – c X(2) = AX(1) – c X(3) = AX(2) – c X(4) = AX(3) – c X(5) = AX(4) – c 所以有 X(5) = A5X(0) – (A4 + A3 + A2 + A + I )c 考虑每年都必须保持有每一年龄的动物,应有 X(k) 0 ( k=1,2,3,4,5) MATLAB程序如下 c=input(input c:=); x0=[1000;1000;1000]; L=[0 4 3;1/2 0 0;0 1/4 0]; x1=L*x0-c; x2=L*x1-c; x3=L*x2-c; x4=L*x3-c; x5=L*x4-c; [x1;x2;x3;x4;x5] 程序运行时输入不同的参数c,观察数据计算结果。取c=100时,能保证每一年龄动物数量不为零。 不同年龄组的繁殖率和死亡率不同 建立差分方程模型,讨论稳定状况下种群的增长规律 假设与建模 种群按年龄大小等分为m个年龄组,记i=1,2,… , m 时间离散为时段,长度与年龄组区间相等,记k=1,2,… 以雌性个体数量为对象(假设性别比为1:1)

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