南京工业大学概率统计复习概要(考试必备).doc

概率论概要（2007－12－22） 一 事件与概率 1 随机试验，随机事件及其运算。 在一定条件下，其结果不能预先确定而可以重复进行的试验称为随机试验。随机试验的每一个可能结果称为基本事件或样本点，全体可能结果称为样本空间。随机事件A时由若干个基本事件组成，即样本空间的子集：。而全空间称为必然事件，空集称为不可能事件.事件A发生的可能性的度量称为这个事件的概率，记为。 事件的关系与运算 以下引进事件的关系和运算. 既然事件是集合，故事件也遵守集合运算的规则. 以下设 为事件. “事件 在某次试验中发生”，用集合论的语言就是，其中为这次试验的结果. 包含关系 意味：发生，必发生. 即 . 并 意味： 发生或 发生。即 . 交 意味： ， 同时发生。即 . 差 意味：发生但不发生。即. 对立事件 ，即不发生. 若，称 , 互不相容，即 , 不可能同时发生. 这时可记. （一般记，不论是否相容） 运算规律 交换律 . 结合律 . 分配律 . 对偶律 . 对偶律可以推广到有限或无限个事件的情形，例如，对事件有 , 上面的其他运算规律也有类似的推广。 2事件与概率的数学定义，概率空间的概念（柯尔莫哥洛夫公理体系） 一般来讲，我们所关心的事件随着目的和场合的不同而不同，就是在同一样本空间中，各种各样的事件族都可能成为被考察的对象.在概率论中，事件族要求满足如下公理： 公理1.1 1) ; 2)若，则； 3)若，则； 同时满足三个公理的事件族称为代数.我们还容易知道有如下性质： 4) （因为）； 5) 若则（由对偶律）. 确定好我们关心的事件族代数后，再去考虑中事件发生的概率（或称概率测度）.事件发生的概率记为（直观上，表示事件发生的可能性），要求它满足如下公理： 公理1.2 1) ； 2) =1; 3) 完全可加性：若,且互不相容，则 由公理1.2容易推出 4） （在3）中令，即可）； 5）有限可加性：若,且互不相容，则 （在3）中令，即可） 三者的结合物称为概率空间。以上是柯尔莫哥洛夫提出的概率空间的公理体系。柯尔莫哥洛夫公理体系同现代的几何基础公理体系不去界说诸如点，线，面这些几何基本元素一样，着眼于规定事件与事件的概率的最基本的性质与关系，而不去解释它们的现实背景与含义；将概率论建立在坚实的数学基础之上. 3 概率的其他性质 加法公式 连续性。对任意单调上升或单调下降的事件列有 其中 （上升情形）或(下降情形)。 4条件概率。若, 则 称为已知A发生的条件下事件B的条件概率。 条件概率的性质： 函数满足概率的三条公理, 称三元组为条件概率空间。 乘法公式 全概公式与逆概公式 若事件不相容且它们至少有一个发生（即，则 5 独立性 称事件独立，若。 称事件独立，若对任意和有 6 独立试验序列 设一次试验中事件A发生的概率为（即）作n次独立重复试验，事件A发生的次数记为X，则 ， 二 随机变量及其分布 1随机变量及其分布函数 设为概率空间, 为定义在其上的实函数, 如果对任一实数, 有 (*) 则称为随机变量. (初学者仅需理解随机变量为试验结果的函数，而“可测性”条件 (*) 是数学上的要求，不必深论). 其次令 , (可简记为)称为随机变量的分布函数. 以后事件常常简记为. 为计算与随机变量有关的各个事件的概率, 我们不必深入到较为抽象的概率空间中去，而可通过具体的实变元实函数进行. 因此, 数学分析一切工具都可运用, 这就是引进分布函数的好处. 分布函数具有如下性质 1) 单调不减: 如果, 则. 2) 右连续： . 3) . 4) . 且 ， ， 2离散型随机变量 离散型随机变量X是仅可能取有限个或者可列个值的随机变量. 设X可能取的值为： . 它取各个值的概率, 即概率分布为: . 还可以列为概率分布表: 显然有 1） ; 2) . 又离散型随机变量X的分布函数显然为 =, . 它是阶梯函数. 3 连续型随机变量 如果存在非负可积函数，使对，都有 （1） 我们称这样的随机变量X为（绝对）连续型随机变量；称p(x)为它的概率密度函数，简称为密度. 显然具有如下性质： 1) p(x)≥0 ?∞x∞ 2) 又随机变量X落在区间的概率为 显然X落于区间或的概率与落在区间的概率一