微积分定积分的几何应用.ppt

总 结 返回 上页 下页 §7.1 定积分的几何应用 数理系：汪学海 ---求平面图形的面积 a b x y o 1. 求曲边梯形的面积 曲边， 以[a,b]为底的曲边梯形的面积A. 设函数 在[a,b]上连续， 求以 为 复 习 柱面 1.引例. 分析方程 表示怎样的曲面 . 的坐标也满足方程 ， 解:在 xoy 面上， 表示圆C, 故在空间 过此点作 对任意 z , 平行 z 轴的直线 l , 表示圆柱面. 在圆C上任取一点 1.直角坐标系情形 二、 定积分在几何上的应用 o y x (1) 为曲边， 以 以[a,b]为底的曲边梯形的面积A. (2)由曲线 所围图形的面积. x o y 其面积元素为： 则面积为 上曲线 下曲线 (3) 为曲边， 以 以[c,d]为底的曲边梯形的面积A. (4)由曲线 所围图形的面积. 其面积元素为： 则面积为 右曲线 左曲线 x o y c d x y o c d y+dy y y+dy y 总之 o x y x x+dx x+dx x 在 [a,b] 上有正有负， 时， 时， 解法1. 两曲线的交点 面积元素 选 为积分变量 例1 计算由两条抛物线 和 所围成的图形 的面积. x x+dx 问题： 积分变量只能选 吗？ x y o 1 1 y=x2 x=y2 例1 计算由两条抛物线 和 所围成的图形 的面积. 解法1. 两曲线的交点 x y o 1 1 y=x2 x=y2 例1 计算由两条抛物线 和 所围成的图形 的面积. 解法2. 两曲线的交点 解 两曲线的交点 说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 选 为积分变量 例3 计算由曲线 和 所围成的图形的 面积. o y2=2x y x y=x-4 二、无界函数的反常积分(又称为瑕积分). y x o 1 1 y x o 1 1 引例：求由曲线 ，及x=0、 x=1和y=0围成图形的面积. 解：取充分小 因 2 1 1 y x = - 例3 作出曲面 所围成的 立体图形. a a x z y 0 a 学画草图 1. 柱面方程的特征; 2. 会画柱面的立体图; 返回 上页 下页