信号与系统-5章 离散时间系统的时域分析.ppt

例 求所示模拟框图所描述系统的差分方程 根据图可列出方程 整理得差分方程 ∑ x(n) 1/E y(n) ∑ 1/E 解 5.2.3 数学模型的建立 例 如下图电路，已知边界条件v(0)=E，v(N)=0，求第n个节点电压v (n)的差分方程。 R R R R R R R R E - + v(0) v(1) v(2) v(N-1) v(N) … … R 运用KCL可写出方程得 整理后得到差分方程： 对任一节点n-1，其关联的电路如图： 解 R R R v(N-1) v(N-2) v(N) 5.3 线性时不变系统的解法 5.3.1 迭代法 迭代法也称为递推法。差分方程是一种递推形式的方程式，因此可以用递推算法求解。 例 求模拟框图所描述系统的差分方程。已知x(n)=δ(n)，且n0时，y(n)=0。 1/E ∑ x(n) y(n) a 即 解 5.3.2 经典时域法 设N 阶差分方程式为 其全解y(n)为 1. 齐次解 例 y(n)-0.7y(n-1)+0.1y(n-2)=0, 求齐次解，已知初始条件y(-1)= -26，y(-2)= -202。 差分方程的特征方程为 方程的齐次解为 将初始条件代入上式，得 解 则方程的齐次解为 例 y(n)+9y(n-1)+27y(n-2)+27y(n-3)=x(n)，求齐次解。 差分方程的特征方程为 特征根为 则方程的齐次解为 解 例 求y(n)-2y(n-1)+2y(n-2)-2y(n-3)+y(n-4)=0齐次解。已知初始条件y(1)=1，y(2)=0，y(3)=1，y(5)=1。 特征方程为 特征根为 方程的齐次解的形式为 解 代入初始条件，有 故所求的齐次解为 2. 特解 特解的函数形式与激励函数的形式有关。首先将激励函数x(n)代入原差分方程的右端，通过观察右端自由项的函数形式来选择含有待定系数的特解函数式，然后将它们代入方程，求出待定系数，就可得到方程的特解。 自 由 项 特 解 yp(n) 形 式 B0 (常数) B1 (常数) n B1+B2n nm B1nm+B2nm-1+…+Bmn+Bm+1 ean (a为实数) Bean ejωn Aejωn ( A为复数) sinωn或cosωn B1sinωn+B2cosωn αn Bαn (α不是特征方程的根) αn (B1n+B2) αn (α是特征方程的单根) αn (B1ns+B2ns-1+…+Bsn+Bs+1) αn (α是特征方程的s重根) 自由项与特解的对应形式 对于N阶差分方程，在特征方程没有重根的情况下，方程全解为 例 求差分方程y(n)-y(n-1)/6-y(n-2)/6=4x(n)的完全解，已知在n≥0时，激励函数x(n)=u(n)，且初始条件为y(-1)=0，y(-2)=12。 解 差分方程的特征方程为 因自由项是常数4u(n)，故特解也是常数。 令yp(n)=B，则yp(n-1)=B ，yp(n-2)=B 将它们代入差分方程中，有： B-B/6-B/6=4 得 B=6 方程的齐次解为 故全响应为 将初始条件代入上式，得 解方程组，得 因此 5.3.3 时域法 零输入响应：激励为零时，仅由系统初始状态 所引起的响应，用yzi(n)表示。 零状态响应：系统的初始状态为零时，仅由系 统的外部激励信号x(n)所产生的 响应，用yzs(n)表示。 系统的全响应： y(n)= yzi(n)+ yzs(n) 例 已知系统差分方程y(n)-y(n-1)-2y(n-2)=x(n) (1) 若x(n)=6u(n)，初始条件y(-1)= -1，y(-2)=4，求系统的完全响应； (2) 若初始条件与（1）相同，而x(n)=12u(n)，求系统的完全响应； (3) 若x(n)=6u(n)，而初始条件为y(-1)= -2， y(-2)=8，求系统的完全响应。 （1）系统的特征方程为 特征根为 自由响应的表达式为 解 零输入响应的形式为 将初始条件y(-1)= -1，y(-2)=4代入上式，得 所以 ！ 由于当n≥0时，输入x(n)是一个常数，自由项是常数，因此强迫响应也是一个常数。 令yp(n)=B，则yp(n-1)=B，yp(n-2)=B将它们代入