反函数在高考中常见题型分析.doc

反函数在高考中常见题型分析 高考对反函数要求是：理解掌握反函数的概念，明确反函数意义、常见符号、求反函数方法、互为反函数间的关系等.难度不大，但逢试必考.本文归纳整理近年来高考试题中出现的题型,供复习时参考. 1、求原函数的定义域 例1(92高考上海卷)函数反函数是，求定义域 解：原出数定义域是反函数值域，的值域是，故函数定义域是 2、求反函数定义域 例2、函数f(x+1)=log(x+2)+x+2x+3的定义域，求反函数定义域 解：f(x+1)的值域，f(x+1)与f(x)的值域相同，反函数定义域是 注：从另角度看，f(x)=log(x+1)+x+2的值域是其反函数的定义域，但是此时它的定义域是，不要误认为是,从而出现f(x)的值域不是错误. 3、求函数的值 例3、(2004广西卷)已知函数是奇函数，当时，，设的反函数是，则 . 解：易求当时，。解方程和，前者x=-2,后者无解. 则-2. 例4、(2004湖南卷)设是函数的反函数，若，则的值为 （ ） A．1 B．2 C．3 D． 解: 即，即.求得，。=8，a+b=3,于是=.选（D）. 注;涉及的值时,往往从它的意义入手,通过解方程,得x=,较为简便. 4、求反函数 例5（2004甘肃卷）函数y=的反函数为（） 解：y=，取常用对数，得2x=lny,x=lny.其中 即y0.因此，反函数是.选（B）. 例6、（2001全国卷）y=2+1(x0) 的反函数（） A y=log, B y=-log C y=log D y=log 解：解方程y=2+1，得x=log, 即y=log.的定义域.故选(A) 注：求反函数解析式要注意其定义域 5、讨论反函数图像 例7、（94全国卷）则的图像是（） 解：研究反函数图像,往往通过观察原函数的图像实现.先研究f(x)解析式。得它是一段圆弧，圆心（0，1），反函数图像也是一段圆弧，圆心（1，0）.故选(B) 例8、(2004福建卷)已知函数y=log的反函数是,则函数的图像是( ) 解:根据性质特征解.=,=, 图像过点(1,1),且其值域为(0,).可见,答案选(C). 6、求字母参数 例9(2001上海卷)的反函数是,的图像过Q(5,2).求b. 解:f(x)的图像必过(2,5),代入,得 b=1. 例10、（2004江苏卷）设k1，f(x)=k(x-1)(x∈R) . 在平面直角坐标系xOy中，函数y=f(x)的图像与x轴交于A点，它的反函数y=f -1(x)的图像与y轴交于B点，并且这两个函数的图像交于P点. 已知四边形OAPB的面积是3，则k等于 ( ) (A)3 (B) (C) (D) 解：f(x)=k(x-1)图像过点A（1，0），则B（0，1），四边形OAPB的面积可以分成三角形OPA和OPB，且等于三角形OPA面积二倍.求出点P (3,3).从而求出k=.故选(B). 注：原函数图像上的点(a,b),在反函数图像上对应点是(b,a).这是一个经常用到的重要结论. 7、求互为反函数图像交点 例11、（2002全国卷）求f(x)= 图像与反函数图像交点坐标. 解:先求反函数f(x)=,解方程,得x=0或1. 从而交点坐标是(0,0)(1,1). 例12、（2003上海卷）在P(1,1)、Q(1,2)、N M(2,3)四个点中，函数y=与其反函数的图像的公共点只可能是（ ） A 、 P B、 Q C 、M D、N 解：把N点坐标代入y=，a=；代入其反函数解析式中，也有a=，说明N一定在函数y=与其反函数的图像上。另外，画出两函数图像的示意图如右图（1），看出P(1,1)、Q(1,2)、M(2,3)三点都不在图像上。因此，选（D） 注：指数函数与其反函数图像的公共点并不都在直线y=x上;位于直线y=x两侧互为反函数图像的公共点（a，b）、（b，a）是成对出现的; 互为反函数图像各自与直线y=x有惟一交点时，这两个交点必重合与直线y=x上一点，若各自与直线y=x有两个交，分别重合与直线y=x上两点处，如右图。 8、研究函数与其反函数奇偶性 例13、（1992全国卷）的反函数（） 是奇函数，在（0，+）上是减函数 是偶函数，在（0，+）上是减函数 是奇函数，在（0，+）上是增函数 是偶函数，在（0，+）上是增函数 解：偶函数无反函数，排除B、D；原函数在（0，+）上是增函数，反函数也增函数.故选（C）. 注:互为反函数的单调性相同, 偶函数无反函数. 9、存在反函数的条件 例14、（200