2013届高考数学一轮复习课件(理)浙江专版-第5讲 函数的性质(一)——单调性.ppt

二　与单调性有关的参数问题 素材2 三　抽象函数的单调性及其应用 素材3 备选例题 1．在研究函数的单调性时，要掌握并熟记一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，要注意单调区间是定义域的子集． 2．函数的单调性的证明方法：①定义证明法；②导数证明法． 3．判断函数的单调性的方法：①观察法；②图象法；③定义法；④复合函数法；⑤导数法． * * 理解函数的单调性及其几何意义，掌握判断函数单调性的基本方法，并能利用函数的单调性解题． 一 判断函数的单调性，求函数的单调区间 素材1 1.给出下列四个函数：f x ＝x＋1；f x ＝；f x ＝x2；f x ＝sinx.其中在 0，＋∞ 上是增函数的有 C A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2.下列函数中，满足“对任意x1，x2 0，＋∞ ，当x1 x2时都有f x1 f x2 ”的是 C A．y＝log2x B．y＝ex C．y＝log3 D．y＝x 3.已知函数f x 为R上的减函数，则满足f || f 1 的实数x的取值范围是 A． －1,1 B． 0,1 C． －1,0 0,1 D． －∞，－1 1，＋∞ 【解析】因为f x 在R上为减函数，且f || f 1 ， 4.若函数f x ＝x2＋2 a－1 x＋2在区间 －∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是 A．a≤－3 B．a≥－3 C．a≤3 D．a≥3 【解析】由二次函数单调性可知，－≥4， 所以a≤－3，故选A. 【解析】因为f x 是减函数，所以y＝ 3a－1 x＋4a和y＝logax都是减函数，所以3a－1 0，且0 a 1，即0 a . 所以由f x 是减函数，得 3a－1 ×1＋4a≥loga1， 即7a－1≥0，所以a≥. 综上，a的取值范围是[， ，选C. 易错点：忽视x 1与x≥1之间的递减关系，及 3a－1 ×1＋4a≥loga1的条件． 【例1】 1 函数y＝的单调减区间是____________，函数y＝log x2－3x＋2 的单调增区间是____________；函数y＝的单调减区间是____________； 2 证明f x ＝x2＋在 1，＋∞ 上为单调增函数． 【解析】 1 由x2＋2x－3≥0，得x≤－3或x≥1， 所以函数y＝的定义域为 －∞，－3][1，＋∞ ， 其对称轴方程为x＝－1， 所以函数y＝的单调减区间为 －∞，－3]． ⅱ 由x2－3x＋2 0，得x 2，　　所以函数y＝log x2－3x＋2 的定义域为 －∞，1 2，＋∞ ． 又y＝logt t 0 是减函数，t＝x2－3x＋2在 －∞，1 上是减函数， 所以函数y＝log x2－3x＋2 的增区间为 －∞，1 ． ⅲ 由y＝＝＝－1＋ x≠－1 可知，y＝在 －∞，－1 和 －1，＋∞ 上均为减函数． 2 证法1： 用定义法 设x1，x2 1，＋∞ ，且x1 x2，则 f x1 －f x2 ＝x＋－x－ ＝ x1＋x2 x1－x2 － ＝ x1－x2 x1＋x2－ ． 因为1 x1 x2，所以x1－x2 0，x1＋x2 2，x1x2 1， 所以0 1，所以x1＋x2－ 0， 所以f x1 －f x2 0，即f x1 f x2 ， 所以f x ＝x2＋在 1，＋∞ 上是增函数． 证法2： 导数法 因为f x ＝x2＋ x 1 ， 所以f′ x ＝2x－＝. 又x 1，所以2x3－1 0，x2 0，所以f′ x 0， 所以f x ＝x2＋在 1，＋∞ 上是增函数． 【点评】求函数单调区间和判断函数单调性方法一致． 1 利用已知函数单调性，即转化为已知函数的和、差和复合函数求单调区间； 2 定义法：先求定义域，再利用单调性定义； 3 图象法：可由函数图象的直观性写出它的单调区间； 4 导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间． 特别注意：单调区间必为定义域子集，不可忽视函数的定义域． 1 下列函数中，在区间 0,1 上单调递减的是　　. f x ＝sinx; f x ＝x＋； f x ＝log x＋3 ; f x ＝|x＋1|. 2 求证：函数f x ＝x3＋x在 －∞，＋∞ 上是增函数． 【解析】 1 结合基本函数性质及图象分析可知：、不满足题意． 对于，f′ x ＝1－，当x 0,1 时，f′ x 0， 则f x 在 0,1 上递减； 对于，令u＝x＋3，在 0,1 上递增，而y＝logu为减函数，由复合函数单调性知，f x ＝log x＋3 在 0,1 上单调递减．综上可知，在 0,1 上为减函数． 2 证法1：任取x1 x2，