经济应用数学 线性方程组.ppt

我们来看一下课本上的例3，例4，例5 * * 9.7 线性方程组 在科学研究和生产实践中,许多实际问题往往涉及到解线性方程组。因此,对线性方程组的研究具有十分重要的意义,其本身也是线性代数的重要内容之一. 9.7.1 概念 上一章导出的克拉默法则在理论上是一个非常完美的结果，利用行列式，把线性方程组的解以公式解的形式表示了出来。 然而，克拉默法则仅可解决当线性方程组的方程个数与未知数个数相同，并且方程组的系数行列式不等于零时的求解问题。 如果当方程组的方程个数与未知数个数不相同，或者方程组的系数行列式等于零等更加一般的线性方程组时，不能用克莱姆法则来求解，因而，我们来讨论一般的线性方程组的求解问题。 其中 未知量, 第i个方程第j个未知量xj的系数, 常数项 若全为0 称为齐次线性方程组 所谓一般线性方程组是指具有形式： 否则，为非齐次线性方程组 由m个方程n个未知量的线性方程构成的方程组 求解线性方程组有着广泛的实际应用，针对一般形式的线性方程组求解问题，实际上主要是讨论以下二个问题(1)如何判别一个线性方程组是否有解;(2)若有解，则判断解是唯一还是有无穷多个解，并求出所有解. 图2.1是某城市某区域单行道路网.据统计进入交叉路口A 每小时车流量为500辆，而从路口B和C出来的车流量分别为每小时350辆和150辆.求出沿每一个道路每小时的车流量. 例 解 如图所示，设沿这些道路每小时车流量分x1,x2,x3,x4,x5,x6, 鉴于出入每一个路口的车流量是相等的， 于是有 这就给出6个未知量4个方程构成的线性方程组： 所提的问题就归结为求解上述线性方程组。 那如何求解呢? 能用克拉默法则求解吗? 基本的也较方便的方法还是我们中学就熟悉的消元法。 例 解线性方程组 不能用克拉默法则求解. (Ⅰ) 9.7.2 消元法 解 互换①、②两个方程得到同解的方程组， 消去① 、③、④中的x1， 可以得到 继续消去⑥、⑦中的x2， 可以得到 同解 同解 (Ⅳ) (Ⅱ) (Ⅲ) 通过回代，可以很容易的解得方程组(Ⅳ)的解：x1=1, x2=2, x3=－1，也即求得了原方程组(Ⅰ)的解。 分析上述消元法过程，我们对线性方程组施行了三种变换： 称这三种变换为线性方程组的初等变换. (1)交换两个方程的位置； (2)用一个不等于零的数乘某一个方程； (3)用一个数乘某个方程后加到另一个方程上. 线性方程组的初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组. 消元法的实质,就是利用初等变换化简线性方程组.最终得到比较简单的容易求出解的线性方程组，而该线性方程组的解即为原线性方程组的解. 消元法的实质,就是利用初等变换化简线性方程组. 那么把方程组化简到哪一步就能解出原方程组的解呢 进一步观察一下消元法的过程可以发现，消元法中作的变化仅仅是对方程组的系数和常数项作的变化，可把系数项和常数项单独拿出来处理。 (Ⅰ) 取出系数和常数项排成矩形数阵 方程组跟这样的数表是相互唯一对应的 (Ⅱ) 取出系数和常数项排成矩形数阵 这方程组跟这样的数表是相互唯一对应的 消元法的两个方程互换 数表的两行互换 消元法的倍加 数表第1行某倍加到其他行 取出系数和常数项排成矩形数阵 取出系数和常数项排成矩形数阵 (Ⅳ) (Ⅲ) 从上述过程可以发现，消元法中作的变化可以简单的通过对系数项和常数项构成的数表进行处理来得到方程组的解。 把这样的数表通称为为矩阵。 线性方程组 由线性方程组的系数构成的矩阵， 称为系数矩阵, 由线性方程组的系数和常数项构成的矩阵 称为线性方程组的增广矩阵， A= 记为 A= A= 记为 A 为了区别系数和常数项 消元法的过程相当于就是对增广矩阵进行一系列的初等行变换化为比较简单的矩阵，并解出比较简单矩阵所代表的方程组的解，从而得到原线性方程组的解. 所谓比较简单的矩阵就是阶梯形矩阵，阶梯形矩阵代表的线性方程组当有解时通过回代一定可以求出解。 所以，消元法的过程相当于就是对增广矩阵进行一系列的初等行变换化为阶梯形矩阵，并解出阶梯形矩阵所代表的方程组的解，从而得到原方程组的解. 我们一起来看一下课本的例2 约化阶梯形矩阵 定义 若阶梯形矩阵A的每个阶梯头都为1，且阶梯头所在的列其他元素都为零，则称为约化阶梯型矩阵，或称为行最简形。 例如 定理 设 ,且 不全为零，则通过初等行变换和列互换能把A化为约化阶梯形矩阵 A= r行 本节来求解一般的线性方程组, 方程组的系数矩阵, 行变换 列互换 列互换对应着交换未知量的顺序 （Ⅰ） 非齐次线性方程组 9.7.3 线性方程组有解的判别定理 相同的变换 增广矩阵 A= 除未知量