《高等数学》(同济六版)教学课件★第6章.定积分的应用.ppt

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第六章 第一节 一、什么问题可以用定积分解决 ? 二 、如何应用定积分解决问题 ? 第二节 一、平面图形的面积 例1. 计算两条抛物线 例2. 计算抛物线 例3. 求椭圆 一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 例4. 求由摆线 2. 极坐标情形 例5. 计算阿基米德螺线 例6. 计算心形线 心形线 外摆线的一种 例7. 计算心形线 例8. 求双纽线 二、平面曲线的弧长 1 曲线弧由直角坐标方程给出: 2 曲线弧由参数方程给出: 3 曲线弧由极坐标方程给出: 例9. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量, 例10. 求连续曲线段 例11. 计算摆线 例12. 求阿基米德螺线 三、已知平行截面面积函数的立体体积 特别 , 当考虑连续曲线段 例13. 计算由椭圆 方法2 利用椭圆参数方程 例14. 计算摆线 绕 y 轴旋转而成的体积为 注 说明: 例15. 设 例16. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 思考: 可否选择 y 作积分变量 ? 例17. 计算由曲面 例18. 求曲线 四、旋转体的侧面积 补充 注意: 例19. 计算圆 例20. 求由星形线 星形线 内容小结 3. 已知平行截面面积函数 A x 的立体体积 思考与练习 2. 试用定积分求圆 方法2 用柱壳法 求侧面积 : 作业 备用题 2. 4. 第三节 一、 变力沿直线所作的功 例1. 例2. 例3. 二、液体的侧压力 例4. 说明: 三、 引力问题 例5. 说明: 四、转动惯量 补充 例6. 内容小结 思考与练习 2. 设星形线 同理 习题课 例1. 求抛物线 例2. 设非负函数 又 例3. 过坐标原点作曲线 例4. 证明曲边扇形 例5. 求由 例6. 半径为 R , 密度为 因此功元素为 例7. 设有半径为 R 的半球形容器如图. 1 求 2 将满池水全部抽出所做的最少功 作业 质量分别为 的质点 , 相距 r , 二者间的引力 : 大小: 方向: 沿两质点的连线 若考虑物体对质点的引力, 则需用积分解决 . 设有一长度为 l, 线密度为? 的均匀细直棒, 其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M, 该棒对质点的引力. 解: 建立坐标系如图. 细棒上小段 对质点的引力大小为 故铅直分力元素为 在 试计算 利用对称性 棒对质点引力的水平分力 故棒对质点的引力大小为 棒对质点的引力的铅直分力为 2 若考虑质点克服引力沿 y 轴从 a 处 1 当细棒很长时,可视 l 为无穷大 , 此时引力大小为 方向与细棒垂直且指向细棒 . 移到 b a b 处时克服引力作的功, 则有 引力大小为 注意正负号 3 当质点位于棒的左端点垂线上时, 质量为 m 的质点关于轴 l 的转动惯量为 的质点系 若考虑物体的转动惯量 , 则需用积分解决 . 关于轴 l 的转动惯量为 ⑴ 求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量 ; ⑵ 求圆盘对直径所在轴的转动惯量 . 解: ⑴ 建立坐标系如图. 设圆盘面密度为? . 小圆环质量 对应于 的小圆环对轴 l 的转动惯量为 故圆盘对轴 l 的转动惯量为 设有一个半径为 R , 质量为 M 的均匀圆盘 , 平行 y 轴的细条 关于 y 轴的转动惯量元素为 细条质量: 故圆盘对y 轴的转动惯量为 ⑵ 取旋转轴为 y 轴, 建立坐标系如图. 1 先用元素法求出它的微分表达式 dQ 一般元素的几何形状有: 扇、片、壳 等. 2 然后用定积分来表示整体量 Q , 并计算之. 1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量 Q 的步骤: 2.定积分的物理应用: 变力作功 , 侧压力 , 引力, 转动惯量等. 条、段、环、带、 1999考研 提示: 作 x 轴如图. 1.为清除井底污泥, 用缆绳将抓斗放入井底, 泥后提出井口, 缆绳每 在提升过程中污泥 以20N /s 的速度从抓斗缝隙中漏掉, 现将抓起污泥的抓斗提升到井口, 抓斗抓起的污泥重2000N , 提升速度为3m /s , 问 克服重力需作多少焦耳 J 功? 已知井深30 m , 抓斗自重400N , 将抓起污泥的抓斗由 抓起污 x 提升 dx 所作的功可分为三部分: 米重50N , 提升抓斗中的污泥: 井深 30 m, 抓斗自重 400 N, 缆绳每米重50N, 抓斗抓起的污泥重 2000N, 提升速度为3m∕s, 污泥以 20N∕s 的速度从抓斗缝隙中漏掉 克服缆绳重: 抓斗升至 x 处所需时间 : 克服抓斗自重: 上每一点处线密 度的大小等于该点到原点距离的立方, 提示: 如图. 在点O 处有一单 位质点 , 求星形线在第一象

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