《间接证明》教学设计.docVIP

学科年级教材学校作者 （1）古时候，王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．” （2）2000多年前，亚里士多德认为：物体自由下落时，重的比轻的快。16世纪末，伽利略用下面的思想实验反驳了亚里士多得的结论。 假设亚里士多德的结论是正确的。现在有两个重量不同的物体A与B,A比B重。则A下落得比B快。如果把A和B栓一起（记为A+B），B会把A+B下落得速度拖慢。因此，A+B下落的速度应该比A慢。另一方面，因为A+B比B重，按照亚里士多德的理论，A+B的下落速度比A快。这样就产生了矛盾。因而亚里士多德的理论是错误的。 （以问题2为例）问题设置1：伽利略是怎样驳斥亚里士多德的论断的？ 问题设置2：能否将这种方法用在数学的命题证明中呢？ 设计意图：学生的学习效果与学生的学习动机、学习兴趣有非常直接的关系在长方体中，证明是异面直线 问题设置：请同学回忆一下异面直线的定义是什么？ 分析： 由于定义所知证明异面直线需证明此两条直线不同在任何一个平面中，直接证明不可完成。故正难则反：先假设共面，由于经过点的平面只能有一个（即面）,所以直线都应在平面内，于是 点A在平面，这与点A 在平面外矛盾。因此，假设不成立，是异面直线。 设计意图：在学习立体几何中证明异面直线时，其实已经介绍过反证法，只是没有系统讲解，将此问题设计于此，一方面让学生在回顾以前知识的同时实现新旧知识的统一，另一方面，“正难则反”这种思维方式在高中数学的各个章节中都有涉及到，最重要的是为学生自己总结反证法的证明步骤做好铺垫。 3.建构数学：（1）间接证明，（2）反证法：上述证明不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，像这种不是直接证明的方法通常称为间接证明。反证法是一种常用的间接证明的方法。 4.学生活动：讨论问题： 反证法可分为几个步骤？（反设，归谬，存真） 每个步骤在证明中起到了怎样的作用？（略） 能给出反证法的证明过程示意图吗？（肯定条件p并否定结论q——导致逻辑矛盾——p且非q为假——若p则q为真） 你能举出一个可以用反证法证明命题的例子吗？（教材P83练习3） 设计意图： 问题（1）（2）（3）希望学生自行归纳反证法的证明步骤，锻炼其综合概括能力；问题（4）是提高学生的应用能力，也培养学生对需要用反证法来证明的命题产生“敏感”反映。 并总结这类命题的一般“形式特征”，以便学生灵活运用。 5.数学应用： 例1.证明：不是有理数 证明：假设是有理数，则可设=，其中为互素的整数——反设 两边平方变形得：说明是2的倍数，从而也必是2的倍数。 这样又可以设代入整理后得表明是2的倍数从而也必是2的倍数。这样，都是2的倍数，他们有公约数2，这与为互素的假设相矛盾。————————————归谬 假设不成立，原命题得证。—————————————————存真 例2求证：正弦函数没有比小的正周期 证：假设T是正弦函数的周期，且，则对任意实数x都有 所以，假设不成立，正弦函数没有比小的正周期 设计意图：通过这两个例题帮助学生总结一下三点： 要反证法证明的命题本身往往带有“没有、不是”等否定关键词。 证法除了在步骤格式上严格要求外，真正的核心在于“归谬”。这也是反证法证明命题的难点。 “归谬”的常见几种形式：和定理、公理矛盾；和题目条件相矛盾；和假设相矛盾等。 6.回顾与小结：以问题的形式呈现 怎样的证明方法叫间接证明？ 反证法与间接证明的关系？ 反证法的证明步骤是怎样的？ 7.作业布置：教科书P84 4,5 8．板书设计： 2.2.2 间接证明 间接证明： ┅ 证明长方体┅ 例2证明：正弦函数┅ 反证法： ┅ ┅ ┅ 反证法的步骤：┅ 9.教学反思这节课结合教材内容，教学目标以及学生认知水平，重在让学生了解间接证明中反证法的思想，所以就典型的例题分析再分析，本着重视探究、重视交流、重视过程的课改理念，让学生经历“创设情境——了解探究——归纳总结”的活动过程,体验参与数学知识的发生、发展过程 ,成为知识的积极主动的建构者。