第一课时：函数的单调性.docVIP

第一课时：函数的单调性 教材分析：本节内容属于函数性质的内容，揭示函数运动变化的趋势，表示函数自变量和因变量的关系，利用图像判断函数的单调性，体会函数数形结合的指导思想，同时体会并探索世间万事万物运动变化的规律。 教学目标: 1.使学生理解增函数、减函数的概念； 2.使学生掌握用图象判断常见函数如一次、二次函数，反比例函数的单调性 3.使学生掌握用定义证明函数（特别是含三次的整式、分式）单调性的方法与步骤； 4.培养学生数形结合、辩证思维的能力； 5.养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好? 教学重点：函数的单调性及其几何意义． 教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性． 教学过程： 引入课题 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： 随x的增大，y的值有什么变化？ 能否看出函数的最大、最小值？ 函数图象是否具有某种对称性？ 画出下列函数的图象，观察其变化规律： 1．f(x) = x 从左至右图象上升还是下降 ______? 在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ． 2．f(x) = -2x+1 从左至右图象上升还是下降 ______? 在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ． 3．f(x) = x2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ． 在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ． 新教学课 （一）函数单调性定义 1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数． 思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动） 注意： 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2) 2．函数的单调性定义 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间： 3．判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： 任取x1，x2∈D，且x1x2； 作差f(x1)－f(x2)； 变形（通常是因式分解和配方）； 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）． 三例题讲解 例1 如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ 例2：物理学中的玻意耳定律（k为正常数），告诉我们对于一定量的气体，当其体积V增大时，压强p如何变化？试用单调性定义证明. 例3．写出f(x)=|x|的单调区间及其图像的对称轴，观察：在函数图像对称轴两侧的单调性有什么特点 解：递减区间是，递增区间是，对称轴是轴，函数在对称轴两侧的单调性相反。 四、巩固练习： 1.在区间（0，+∞）上不是增函数的是 （ C ） A、y=2x-1; B、y=3x2-1; C、y=; D、y=2x2+x+1; 2、设函数f(x)是（-∞，+∞）上的减函数，若a∈R, 则 （ D ） A、f(a)f(2a); B、f(a2)f(a); C、f(a2+a)f(a); D、f(a2+1)f(a); 3.若函数在上单调递减，且，则实数的取值范围是 4.已知函数，当时，有正值也有负值，求实数的取值范围 或 5.求证f(x)＝x＋的(0,1)上是减函数，在[1,+∞]上是增函数。过程略 6已知在区间上为增函数，且恒有，求证函数在区间上是减函数。 五、小结： 判断单调性的步骤：设x、x∈给定区间，且xx； →计算f(x)－f(x)至最简→判断差的符号→下结论。 六、作业：习题2-3第4、5题。 y x 1 -1 1 -1 y x 1 -1 1 -1