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高斯函数_常见题型 一、常见题型与相关例题 整数问题 在项数为1987的数列中有多少个不同的整数？ 方程问题 方程问题主要有解方程与讨论方程的根两种题型。 解方程。 证明方程无实数解。 恒等问题 这类问题主要是证明一些由[x]构成的恒等式。例如 例4、（Hermite恒等式）若n是正整数，，则. 例5、已知求证： 不等问题 不等问题主要涉及含[x]的不等式分析。此类问题一般难度较大。 例6、设，试证： （1）、 （2）、. 注：与上面不等式相类似地还有 （3）、 （4）、 例7、设试证： 例8、证明不等式对任意不小于1的实数 立。 例9、求所有正整数n使得 求值问题 例10、若实数满足求的值。 例11、计算和式的值。 格点问题 平面区域内的格点计数问题，往往与有关，而且通过格点计数，还可以证明一些恒等式。 例12、设求证： 证明：构造平面区域D=并考虑D中整点的个数： 如果一列一列的数，=2时有个，时有个，…，时有个，故共有个。 如果一行一行的数，时有个，时有个，…，时有个，故共有个。 综合（1）、（2），问题获证。 一般地，设函数在上连续且非负，则（为内的整数）表示平面区域的格点数。 特别地，有 （ⅰ）位于三角形：内的格点个数等于（为整数）。 （ⅱ）设为正奇数，矩形域内的格点数等于。 （ⅲ）圆域内的格点个数等于。 （ⅳ）区域：内的格点个数等于。 对于以上结论，可通过画示意图来证明。 例如，位于由直线和围成的三角形内的格点个数等于 高斯函数在数列和数论中也有极为广泛的应用，在数列和数论部分可以再得到补充。 二、练习 1、计算和式的值。 2、求函数的值域。 3、解方程。 4、试证对任意实数，有。 5、求方程的整数解。 6、设证明：对一切都有。 7、求所有的实数，使得对一切正整数都成立。 8、设求证：使下列不等式成立：。 9、若对任何整数都满足。 证明：中至少有一个是整数。 10、证明：对任意正整数都有。 11、证明使得对与的奇偶性相同，并给出一个如此的正实数。 12、在数列中，是正整数，且。试求出所有的使得当时有。