分块矩阵的研究和应用论文MicrosoftWord文档.doc

分块矩阵的研究和应用 姓名:马双 学号:200740510226 指导老师:冯艳刚 摘 要：分块矩阵在高等代数中占有重要地位，在许多方面都有应用.本文系统分析了分块矩阵的概念，以及分块矩阵的运算和分块矩阵的转置，分块矩阵的初等变换等矩阵的一系列变化.介绍了矩阵的分块在求矩阵逆和在矩阵运算中的应用并通过几个列子来具体说明. 关键词：分块矩阵；行列式；逆矩阵 The research and application of partitioned matrix Abstract: The partitioned matrix in higher algebra has very important application, this paper systematically analyzed the concept of partitioned matrix and the partitioned matrix of the operation and partitioned matrix of the transpose partitioned matrix of the elementary transformation matrix of such as series of changes. This paper mainly summarizes the partitioned matrix for inverse matrix and in the application and the matrix through several liezi to specify. Keywords: partitioned matrix; determinant; inverse matrix 1．引言 在高等代数中矩阵的分块是一项非常重要的内容，许多问题的研究都要用到它，特别是在处理一些高级数的矩阵时运用矩阵分块能起到事半功倍的效果.矩阵分块后使各个矩阵之间和矩阵内部的关系变得更清楚。本文在分块矩阵行列式运算以及求矩阵的逆问题上做了深入的研究和应用.每个部分都给出详细的实用性较强的定理和例子，通过这些具体的列子可以清晰的看出分块矩阵在处理线性代数问题上的简便性和灵活性. 2．分块矩阵研究 2.1 分块矩阵的概念 通常情况下，我们把一个大矩阵认为是由一些小矩阵构成的，就如矩阵是由数组成的一样，特别是在运算中，把这些小矩阵当作数一样来处理，这种方法就是矩阵的分块． 矩阵的分块可以是任意的，同一个矩阵可以根据不同的需要分成不同的子块，从而构成不同的分块矩阵，除了理论和实际的需要外，矩阵分块一般应考虑有如下两点： （1）显示出矩阵的某些部分特性.（2）要适合矩阵运算的相应要求. 例如：a.加法——满足对应行数和列数相等 b.乘法——满足第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等c.求逆——必须满足分块矩阵式方阵。求逆的子块也是方阵 2.2 分块矩阵的运算 分块矩阵运算形式上和数字矩阵的运算比较相似，在运用计算的矩阵的分块恰当，分块矩阵就相近于普通矩阵的运算规则.例如a.分块矩阵的加法：设A,B是两个同型矩阵并且对A,B都采用同样的分法来分块： A= ，B= A+B= b.分块矩阵的数乘： 设K是一个数那么KA= 可见，分块矩阵的加法和乘法是一样的就只是把块当作“元素” 2.3 分块矩阵的乘法 设两个矩阵A，B分别如下： A= =，B== AB== 2.4 分块矩阵的转置 设A=则= 这个矩阵称为矩阵分块A的转置 这里要注意的是矩阵分块A的转置是先把A的行变列，列变为行后，再把每一小块矩阵转置，方能得到矩阵分块A的转置矩阵. 2.5 分块矩阵的初等变换 分块矩阵的初等列变换和普通矩阵的初等列变换相仿，因为分块矩阵也有三种形式的初等列变换 （1）.把矩阵中一个块列的右q倍（q是矩阵）加到矩阵的另一个不同的块列上 （2）.将矩阵中两个不同块列的位置互换 （3）.用任意一个可逆的矩阵右乘矩阵中某一块列 同样的分块矩阵的初等行变换也与之类似有 （1）.把矩阵中一个块行的左q倍（q是矩阵）加到矩阵的另一个不同的块行上 （2）.将矩阵中两个不同块行的位置互换 （3）.用任意一个可逆的矩阵右乘矩阵中某一块行 例如： 3．分块矩阵应用 3.1用分块矩阵证明矩阵乘积的秩的定理 引理1 3.2 用分块矩阵求逆矩阵问题 在线性代数中求矩阵的逆方法有很多种，这里我们只介绍利用分块矩阵的方法来解决矩阵求逆问题。利用分块矩阵求逆主要利用 引理2：设P= ,特别低， （1）当A=0，D=0，B与C都可逆时，有；（2）当A=0，， 例1 P= 解：令P=，其中Q= 所以= 例2 求矩阵M=的逆矩阵.