考研数学复习-常数项级数及性质.ppt

§4.１ 常数项级数及性质　第*页 09 研究生 数学考试大纲 七、无穷级数 考试内容 　　常数项级数的收敛与发散的概念　收敛级数的和的概念　级数的基本性质与收敛的必要条件　几何级数与级数及其收敛性　正项级数收敛性的判别法　交错级数与莱布尼茨定理　任意项级数的绝对收敛与条件收敛　函数项级数的收敛域与和函数的概念　幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域　幂级数的和函数　幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法　初等函数的幂级数展开式函数的傅里叶（Fourier）系数与傅里叶级数　狄利克雷（Dirichlet）定理　函数在上的傅里叶级数　函数在上的正弦级数和余弦级数 考试要求 　　1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件. 　　2．掌握几何级数与 级数的收敛与发散的条件. 　　3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法. 　　4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法. 　　5. 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系. 　　6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念. 　　 7．理解幂级数收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法. 　　8．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和. 　　9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件. 　　10．掌握一般函数 的麦克劳林（Maclaurin）展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数. 11．了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在区间上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式. * 正项级数的三种判别法 1、 比较判别法 * 2、 比值判别法 * 3、 根值判别法 * 交错级数及其判别法 一、什么是交错级数？ * 交错级数及其判别法 二、判断交错级数敛散性的常用方法：莱布尼兹定理 * 　绝对收敛与条件收敛 * 　绝对收敛与条件收敛 * 什么是函数项级数 （其中　　　　　　　　　　　　　　　　　　） * 函数项级数的收敛域 函数项级数的收敛点与发散点 该级数 * 函数项级数的和函数 若函数项级数　　　　的收敛域为D，则对x∈D可设 ＝S x 级数的和 函数 * 　幂级数及其收敛域 一、什么是幂级数？ 1 形如: 的级数称为（x-xo）的幂级数，其中 ai i 1,2,3,…… 均为常数, 称为该幂级数的系数. 2 形如: 的级数称为 x 的幂级数，其中 ai i 1,2,3,…… 均为常数. 由于级数（）是当（x-x0）换为 x（或者说是当 x0 0的情形），因此，我们下面主要讨论形如（）的幂级数. 　幂级数及其收敛域 二、幂级数收敛域的结构特征 * * 　幂级数及其收敛域 二、幂级数收敛域的结构特征 　如果任意项级数 三、幂级数收敛域的求法 * 三、幂级数收敛域的求法 以下给出幂级数收敛半径的计算方法. 幂级数的运算与性质 * 一、幂级数运算 幂级数的运算与性质 * 二、和函数的性质 幂级数的运算与性质 * 一、幂级数运算 二、和函数的性质 二、函数f x 可展成幂级数的含义 给定函数f x ，若存在在区间 I 内收敛，且其和恰好等于f x 的幂级数，即 则称 f x 在区间I 内可展开成关于x－x0（或x）的幂级数. 五、 f x 展成幂级数的间接法 间接展开法是指以一些已知的函数的幂级数为基础，利用幂级数的性质、变量变换等方法，求出某些函数的幂级数展开式的方法。 相对而言，间接展开法的使用更多一些。 使用间接展开法的前提是熟记常用的幂级数公式.