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电气信息学院《现代控制理论课程》 第一章 线性系统的状态空间描述 本章主要内容 1.1 状态空间分析法 1.2 状态结构图 1.3 状态空间描述的建立 1.4 化输入-输出描述为状态空间描述及其几种标准形式 1.5 由状态空间求传递函数 1.6 离散时间系统的状态空间描述 1.7 状态矢量的线性变换 系统描述中常用的基本概念 系统的外部描述 传递函数 系统的内部描述 状态空间描述 1.1 状态空间分析法 状态空间分析法例子 状态变量和状态矢量 状态空间和状态空间描述 二、状态变量和状态矢量 状态：指系统的运动状态（可以是物理的或非物理的）。状态可以理解为系统记忆，t t0时刻的初始状态能记忆系统在 t t0时的全部输入信息。 状态变量：指足以完全描述系统运动状态的最小个数的一组变量。 完全描述：如果给定了t t0时刻这组变量值 ，和 t t0时输入的时间函数 ，那么，系统在t t0的任何瞬间的行为 就完全确定了。 最小个数：意味着这组变量是互相独立的。一个用n阶微分方程描述的含有n个独立变量的系统，当求得n个独立变量随时间变化的规律时，系统状态可完全确定。若变量数目多于n，必有变量不独立；若少于n，又不足以描述系统状态。 三、状态空间和状态空间描述 MIMO线性定常系统（r个输入，m个输出）的状态空间描述 1.2 状态结构图 状态空间描述的结构图绘制步骤： ⑴画出所有积分器； 积分器的个数等于状态变量数，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量。 ⑵根据状态方程和输出方程，画出相应的加法器和比例器； ⑶用箭头将这些元件连接起来。 例1-1 画出一阶微分方程的状态结构图。 状态结构图 二、由系统机理建立状态空间描述 步骤： 1 根据系统的机理建立相应的微分方程或差分方程； 2 选择有关的物理量作为状态变量； 3 导出状态空间表达式。 线性定常系统的状态空间表达式为 2、标准II型 二、传递函数中有零点时的实现 （2）能观测I型 1.）选择状态变量 2.）求 2、标准II型 与标准I型相同，标准II型也分为能控II型和能观II型。 能观II型与能控I型互为对偶。 能控II型与能观I型互为对偶。 1.5 由状态空间求传递函数 状态空间描述： 例 1-10 离散系统的差分方程为 试写出该离散系统的一个状态空间描述 。 解 由差分方程写出相应的脉冲传递函数 ： 1.7 状态矢量的线性变换 线性非奇异变换： 1）一个n维系统的 方阵A，有且仅有 n 个独立的特征值。 1）先求出系统矩阵A的所有特征值。 a）先求出系统矩阵A的所有特征值。 定理1： 对于线性定常系统 ，如果A特征值 互异，则必存在非奇异变换矩阵T，通过变换 ，将原状态方程 化为对角线规范形式 。 其中： 证明： 1）找非奇异变换阵 由特征值性质 4 知，由A特征矢量构成的矩 阵 是非奇异的，故可以选择T为变换阵。 2）求 上式两端左乘 得： 证毕！ 特征值定义 [例] 线性定常系统 ，其中： 将此状态方程化为对角线标准型. 当 时， 2 确定非奇异矩阵P [解]: 1 求其特征值: 取: 当 时， 取: 同理当 时， 得: 3）求 对角线标准型为： （2）特征值有重根时 1）、具有重特征根，但A独立的特征矢量的个数仍然为n个： 由线性代数矩阵的对角化可知，此时，仍能变换成对角线标准型。 2）、具有重特征根，且A独立的特征矢量的个数小于n个： 这种情况下，不能变换成对角线标准型。故引入约当标准型。 要进行线性变换，需增加广义特征矢量，构成P变换阵 注意：对于每个特征值，其独立特征矢量的个数为 3）、约当矩阵定义： 约当块： 约当矩阵： 由约当块组成的准对角线矩阵。 其中： 是约当块块数，等于 独立特征矢量的个数。 即每个约当块有且仅有一个线性独立的特征矢量。 说明：由此可以看出，对角阵是一种特殊形式的约当矩阵。 说明： 对角线矩阵：各状态变量间是完全解耦的。 约当型矩阵：各状态变量间最简单的耦合形式，每个变量之多和下一个变量有关联。 条件：约当块阶数 等于特征值重数的条件：对应该重特征值的独立特