《概率论与数理统计》期末试题2.doc

《概率论与数理统计》期末试题（2）与解答 一、填空题（每小题3分，共15分） 设事件仅发生一个的概率为0.3，且，则至少有一个不发生的概率为__________. 设随机变量服从泊松分布，且，则______. 设随机变量在区间上服从均匀分布，则随机变量在区间内的概率密度为_________. 设随机变量相互独立，且均服从参数为的指数分布，，则_________，=_________. 设总体的概率密度为 . 是来自的样本，则未知参数的极大似然估计量为_________. 解：1． 即 所以 . 2． 由 知 即 解得 ，故 . 3．设的分布函数为的分布函数为，密度为则 因为，所以，即 故 另解 在上函数严格单调，反函数为 所以 4．，故 . 5．似然函数为 解似然方程得的极大似然估计为 . 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．设为三个事件，且相互独立，则以下结论中不正确的是 （A）若，则与也独立. （B）若，则与也独立. （C）若，则与也独立. （D）若，则与也独立. （ ） 2．设随机变量的分布函数为，则的值为 （A）. （B）. （C）. （D）. （ ） 3．设随机变量和不相关，则下列结论中正确的是 （A）与独立. （B）. （C）. （D）. （ ） 4．设离散型随机变量和的联合概率分布为 若独立，则的值为 （A）. （A）. （C） （D）. （ ） 5．设总体的数学期望为为来自的样本，则下列结论中 正确的是 （A）是的无偏估计量. （B）是的极大似然估计量. （C）是的相合（一致）估计量. （D）不是的估计量. （ ） 解：1．因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A），（B），（C）都是正确的，只能选（D）. 事实上由图 可见A与C不独立. 2．所以 应选（A）. 3．由不相关的等价条件知应选（B）. 4．若独立则有 ， 故应选（A）. 5．，所以是的无偏估计，应选（A）. 三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率. 解：设‘任取一产品，经检验认为是合格品’ ‘任取一产品确是合格品’ 则（1） （2） . 四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设为途中遇到红灯的次数，求的分布列、分布函数、数学期望和方差. 解：的概率分布为 即 的分布函数为 . 五、（10分）设二维随机变量在区域 上服从均匀分布. 求（1）关于的边缘概率密度；（2）的分布函数与概率密度. 解： （1）的概率密度为 （2）利用公式 其中 当 或时