ansys02第二讲(有限元基础).ppt

第二章、结构静力分析的有限单元法 平面问题有限元方法介绍 1、设定位移函数 2、由位移函数求应变 3、由应变求应力 4、由虚功原理求单元刚度矩阵 单元刚度矩阵任意元素 的物理意义 单元刚度矩阵的特点 对称性 奇异性 物理解释：单元处于平衡时，节点力相互不是独立的，它们必须满足平衡方程，因此，它们是线性相关的。另一方面，即使给定满足平衡的节点力 f，也不能确定单元节点位移 ，因为单元还有任意的刚体位移。 主元恒正 物理解释：要使节点位移 ，施加在 方向的节点力 必须与位移 同向。 第二节、有限单元法的解题步骤 有限元分析的流程 * * 第一节、有限单元法的分析过程 有限元分析的六个基本步骤是： 结构离散化； 选择位移模式； 分析单元力学特性； 集合所有单元的平衡方程，建立整个结构的平衡方程； 求解未知节点位移； 计算单元应变和应力。 以平面三角形为例： 写成矩阵： 单元内的位移通过节点的位移插值得到。对于三角形单元，可假定单元内的位移为 的线性函数。 既然是单元内某点的位移表达式，当然也是三个节点上的位移。 可以得到： 这里: 是广义坐标。 式中： 为不使A 为负值，图1中的i，j，k必须按逆时针方向标注 将上述式子代入 有： 任意点位移 任意点坐标 节点几何量 节点位移 或写成： 可简写为： 上式为单元内某点的节点位移插值表示的多项式，称N为形状函数，其中： 选取单元位移函数的一般原则： 广义坐标 是由节点场变量确定，因此，其个数必须与节点自由度个数相等； 选取多项式时，常数项（反映刚体位移）和坐标的一次项（反映常应变）必须完备；当单元数目趋于无穷时，单元缩小趋于一点，此时单元应变为常应变； 多项式的选取应由低阶到高阶，尽量选取完全多项式以提高单元精度。 由弹性力学的知识： 可得： 或写成： 对于平面问题： 对于平面应力： 给单元节点以任意虚位移： 虚位移、虚应变分别可表示为： 虚功原理：当结构受载荷作用处于平衡状态时， 在任意给定的虚位移下，外力 及内力 所 做的虚功之和为零。 单元节点的虚功： 单元内力的虚功： 即 由虚功方程： 是任意的，可消去： 或： 其中 把 B 和 D 代入上式，得平面应力问题的三角形单元刚度矩阵： t 是单元厚度 当单元的第j 个节点位移为单位位移而其它节点位移为零时，须在单元第i 个节点位移方向上施加的节点力大小。 显然，单元刚性越大，则使节点产生单位位移所需施加的节点力就越大。 1、单元剖分和插值函数的确定 根据构件的几何特性、载荷情况及所要求的变形，建立由各种单元组成的计算模型。然后再按单元的性质和精度要求，写出表示单元内任意点的位移函数。 利用节点，可以写出以 表示的节点位移 求 及 ，并代入 它是用节点位移表示单元内任意点位移的插值函数式。 2、单元特性分析 根据位移插值函数，由弹性力学给出的应力应变关系，计算应变为： B 是应变矩阵。相应的变分为： 由物理关系（本构关系） 由虚功原理： 得节点力与位移间的关系为： 其中： 3、单元组集 把各单元按节点组集成与原结构相似的整体结构，得到整体结构的节点力与节点位移的关系，即整体平衡方程： 对于结构静力分析，载荷列阵 f 可包括： 其中：体积力 表面力： 集中力： 4、解有限元方程 解题前，需对结构平衡方程组进行边界条件处理（直接代入法；置大数法；对角元素置1 法） ； 采用不同的方法解有限元方程，得出节点位移。 对角元素置 1 法 5、计算应力 计算得到节点位移 后，由 和 即可求出相应节点应力。 置大数法 CAD几何模型 输入离散模型数据 按选择的单元计算单元刚度矩阵 按总刚存储模式集成总刚 按单元循环 形成 K 计算单元等效节点载荷 集成结构节点载荷列阵 引入位移边界条件 按选定解法解线性方程 形成 f 消除K的奇异性 求解Kq=f *