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不等式基础知识 一、不等式的概念 1．不等式的定义． 2．不等式的分类． 二、实数运算的性质（符号法则） 1．,． 2．． 3．,． 4．． 5．． 三、不等式的性质 1．三歧性： 对于任意两个实数a与b，在三种情况中仅有一种成立． 2．对称性： ． 3．传递性： 等号是否传到底？ 4．可加性： ； （移项法则、作差原理）． 5．加法法则： （同向特征，可推广）． 6．可乘性： （若，则）； （若，则）． 7．倒数法则：（1） (若，则)； （2） (若，则)； （3）． 例：设a＞1＞b＞－1,则下列不等式中恒成立的是 ( C ) A． B． C．a＞b2 D．a2＞2b 8．乘法法则： （可推广）． 9．乘方法则：．（乘法法则的特例） （）． 10．开方法则：． 11．均值定理：（1）（当且仅当a、b相等时取等号）（可推广）； （2）（当且仅当a、b相等时取等号） （几何意义：半径不小于半弦．）； （3）（当且仅当a、b相等时取等号）； （4） （当且仅当a、b相等时取等号）； （调和平均数几何平均数算术平均数幂平均数）； （5）（一正二定三相等）； （6） （一正二定三相等）． 例1:如果x2＋y2=1,则3x－4y的最大值是 ( D ) A．3 B． C．4 D．5 例2：设x、y∈R+ 且=1,则x+y的最小值为________. 12．真分数性质： （浓度不等式）． 例：在一杯质量为m的水中加入n克的糖，所成的水的浓度为，若在水中继续加入克的水，所成的糖水的浓度为则 （“”，“”或“=”） 注：不等式的性质可分为单向性质和双向性质两类．在解不等式时，只能用双向性质；在证明不等式时，既可用单向性质，也可用双向性质． 附：化归方法在不等式中的具体运用：（1）异向化同向；（2）负数化正数；（3）减式化加式；（4）除式化乘式；（5）多项化少项；（6）高次化低次． 四、不等式的证明 具体证明方法有如下几种： 1．作差比较法 步骤：作差变形（配方、通分、分解、有理化、配方等）定号判断． 2．作商比较法 步骤：作商（注意前提）变形（指数运算）定号判断． 3．分析法 原理：． 步骤：执果索因，从“未知”找“需知”，逐步靠拢“已知”． 4．综合法 原理：． 步骤：由因导果，从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． 注： （2）用分析法时要正确使用连接有关分析推理步骤的关键词，如“欲证……，只需 证……”、“即……”、“假定……成立，则……”等．并且，必须有对最后找到 的，使求证结论成立的充分条件正确性的判断，否则其步骤因不完善而错误． （3）由条件或一些基本性质入手、较易的不等式，以及条件较多的不等式，多可用综合法证明．而对于条件简单而结论复杂的不等式，以及恒成立的不等式，运用分析法证明更为有效．对于复杂问题的证明，常用分析法探索证明途径，然后用综合法加以整理，甚至需交替使用这两种方法，事实上，这两种方法往往也很难区分开． （4）证明不等式的方法还有反证法、判别式法、换元法、构造法、数学归纳法、导数法、放缩法（把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性进行证明不等式的方法，叫放缩法．其常用方法有：舍去一些项、在积中换大（小）某些项、扩大（缩小）分式的分母（分子）等）等． 5、反证法 适宜用反证法证明的数学命题有：①结论本身是以否定形式出现的一类命题；②结论是以“至多”、“至少”等形式出现的命题；③关于唯一性、存在性的命题；④结论的反面比原结论更简单、更具体、更容易研究的命题等。 五、解不等式 大体情形为：若不等式是超越不等式，则把它等价变形为代数不等式；若代数不等式是无理不等式，则把它等价变形为有理不等式；若有理不等式是分式不等式，则把它等价变形为整式不等式；若整式不等式是高次不等式，则把它等价变形为低次不等式；若不等式是形式不规范的不等式，则把它等价变形为规范形式的不等式；若不等式是绝对值不等式，则把它等价变形为不含绝对值的不等式． 例1：不等式≥1的解集是 ( ) A．{x|≤x≤2} B．{x|≤x ＜2} C．{x|x＞2或x≤} D．{x|x＜2} 例2：不等式组的负整数解是____________________。 7．不等式组、不等式串 求不等式组的解集就是求组成不等式组的各个不等式的解集的交集（由多变少，最后归一）；不等式串可化归为与之等价的不等式组求解． 9．超越不等式（指数不等式、对数不等式、三角不等式等）