常微分方程 §2.1 变量分离方程与变量变换.ppt

常微分方程 §2.1 变量分离方程与变量变换 作业 P31 1, 3, P31 6,9;13,15,18(2), * * * 第二章 一阶微分方程的初等解法 先看例子： 定义1 形如 方程,称为变量分离方程. 一、变量分离方程的求解 这样变量就“分离”开了. 例： 分离变量: 两边积分: 注: 例1 求微分方程 的所有解. 解: 积分得: 故方程的所有解为: 解: 分离变量后得 两边积分得: 整理后得通解为: 例2 求微分方程 的通解. 例3 求微分方程 解: 将变量分离后得 两边积分得: 由对数的定义有 即 故方程的通解为 例4 解: 两边积分得: 因而通解为: 再求初值问题的通解, 所以所求的特解为: 二、可化为变量分离方程类型 （I）齐次方程 (I) 形如 方程称为齐次方程, 求解方法: 例4 求解方程 解: 方程变形为 这是齐次方程, 即 将变量分离后得 两边积分得: 即 代入原来变量,得原方程的通解为 例6 求下面初值问题的解 解: 方程变形为 这是齐次方程, 将变量分离后得 两边积分得: 整理后得 变量还原得 故初值问题的解为 (II) 形如 的方程可经过变量变换化为变量分离方程. 分三种情况讨论 为齐次方程,由(I)可化为变量分离方程. 这就是变量分离方程 作变量代换(坐标变换) 则方程化为 为 (1)的情形,可化为变量分离方程求解. 解的步骤: 例7 求微分方程 的通解. 解: 解方程组 将变量分离后得 两边积分得: 变量还原并整理后得原方程的通解为 注:上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型. 此外,诸如 以及 例8 求微分方程 的通解. * * *