常微分方程 §5.1存在唯一性定理.ppt

常微分方程 二、存在唯一性定理 作业 P184 1, 2(b), 3 存在性与唯一性 第五章 线性微分方程组 §5.1 存在唯一性定理 一、线性微分方程组的有关概念 1 线性微分方程组的定义 定义 形如 的微分方程组,称为一阶线性微分方程组. 称为(5.1)的通解. 2 函数向量和函数矩阵的有关定义 (1) n维函数列向量定义为 注: 对向量或矩阵的代数运算的性质,对于以函数作为元素的矩阵同样成立. (2 )函数向量和矩阵的连续,微分和积分的概念 可微函数 可微 可积函数 可积 此时,它们的导数与积分分别定义为 注: 关于函数向量与矩阵的微分,积分运算法则,和普通数值函数类似. (3 ) 矩阵向量的范数 定义 (4 ) 向量或矩阵序列的敛散性 (一致收敛), (一致收敛). (一致收敛), (一致收敛). 如果 上一致收敛. 3 一阶线性微分方程组的向量表示 对一阶线性微分方程组: 则(5.1)可写成 (1)定义1 (2)定义2 初值问题 例1 验证向量 是初值问题 解: 显然 4 n阶线性微分方程的初值问题与一阶线性微分方程 组的初值问题关系 对n阶线性微分方程的初值问题 若令: 则有: 而且: 即方程(5.6)可化为 显然: 且: 事实上,由 知 即 且 即初值问题(5.6)与(5.7)的解等价,即给出其中一个初问题的解,可构造另一个初值问题的解. 例2 将初值问题 化为与之等价的一阶微分方程组的初值问题. 解: 设 则有 即有 也即 注: 每一个n阶线性微分方程可化为n个一阶线性微 分方程构成方程组,反之却不成立. 如: 方程组 不能化为一个二阶微分方程. 1 存在唯一性定理 2 存在唯一性定理的证明 证明共分五步完成 第一步 第二步 证明向量函数 在区间 上有定义且连续． 命题２ 第三步 由 考虑向量函数项级数： 设 则 第四步 设 即 * * * *