第二章系统可靠性模型02.ppt

例2—2 求1，2，…，500中能被3或5除尽的数的个数。 解：设 A1为1～500中能被 3 除尽的数的集合，A2为1～500中能被 5 除尽的数的集合。 由式（2—1）得能被3或5除尽的数的集合个数为： 故有1～500中能被 3 或 5 除尽的数的个数： 因为1～500中能被3除尽的数的个数： 能被5除尽的数的个数： 同时被3和5除尽的数的个数： 1.不交型布尔代数及其运算规则 三、不交型算法 由此可见，运用以上两式计算集合并不太方便。为此，下面介绍不交型算法。 “不交并”（即“逻辑不交和”）运算“ ”，是首先把输入变量（如欲计算的集合）不交化处理后再进行布尔代数的“并”运算“∪ ”的一种运算方法。 如A、B为相交的两个集合，它们的并 A∪B = B∪A文氏图见图2-14(a)。 而它们的不交并 和 的文氏图见图2-14 （b）、（c）。 A B = A∪A′B B A = B ∪B′A 图2-20 A,B合的并与不交并 14 * §2-2 集合代数、布尔代数、容斥 原理及不交型算法 一、布尔代数 第 二 章 系统可靠性模型 内 容 提 要 二、容斥原理 三、不交型算法 §2-2 集合代数、布尔代数、容斥 原理及不交型算法 1847年英国数学家布尔发表了《逻辑的数学分析》，1854年又发表了《思维的规律》， 这是把逻辑数学化的一次成功的尝试。因此至今人们仍把逻辑代数称之为布尔代数。 一、布尔代数 由於产品失效或成功是由零、部件失效或成功的集合形成的，所以研究产品失效，首先应研究集合的运算。 1.集合的并、交、补运算 为直观起见，用文氏图表示。 (1) 集合的并仍为集合,图2-7（a），阴影集合C=A∪B， 集合C为集合A和B的并，或C为A和B的和，符号为∪，可称并，也可称加，中文表示或的意思（即A和B至少发生一个）。 图2-7 集合的并 (2) 集合的交 仍为集合, 图2-7（b），阴影集合C=A∩B，集合C为集合A和B的交，或C为A和B的积，符号∩，可称交，也可称乘，中文表示与、且的意思（即A和B必须同时发生）。 图2-7 集合的交 (3) 集合的补 也是集合图2-7（c），阴影集合，集合C 为集合B的补，或C为B的对立集合，符号“′”, “ ”也可“－”，可称 “补”，也可称非，中文表示“不是”之意。 图2-7 集合的补 2、集合代数的基本规律 （1）交换律 A∪B=B∪A A∩B=B∩A ［（A+B=B+A）］ ［（AB=BA）］ 设 A、B、C 3个集合,Φ为空集，I为全集。 （2）结合律 （A∪B）∪C = A∪（B∪C） （A∩B）∩C=A∩（B∩C） ［（A+B）+C = A+（B+C）］ ［（A·B）· C = A·（B· C）］ （3）分配律 A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C） ［A（B+C）= AB+AC］ 其文氏图见图2—8所示 。 其文氏图见图2—9所示 。 A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C） （4）吸收律 A∪（A∩B）=A ［（A+AB）= A ］ A∩（A∪B）=A ［（A（A+B）= A）］ 其文氏图见图2—10所示 （5）基元律 I：全集，必然事件，一切可能元素的集合。 Φ∪A = A , I∪A = I ：空集，不可能事件，无元素的集合。 Φ∩A = Φ , I∩A = A （6）补元律 3.布尔代数的有关基本定理： 在数学系统中，如果变量只能取0 或 1（失效或不失效），上述定义的并、交、补，且满足以上6条基本规律，该系统叫布尔代数，“∪” 、“∩”、“ ′ ” 叫布尔运算。交这算符号∩可简化为“ . ”，且 书中讲了七个定理：基元互补律、双补律、德·摩根定律、等幂律、复盖律，归并律和对偶性定理。 A∩B=A·B=AB （1）基元互补律 （2）双补律 （3）等幂律 （4）Demorgan律 图 图 （5）覆盖律 A∪A′B＝A∪B ， 覆盖律文氏图见下图 。 图 A（A′∪B）= AB； 覆盖律文氏图见下图 所示。 图 AB∪A′C∪CB = AB∪A′C 覆盖律文氏图见下图 所示。