优化建模与LINGO第07章.ppt

图7-6给出的有一个源和一个汇的网络. 网络 中每一条边 有一个容量 , 除此之外, 对边 还有一个通过边的流(Flow), 记为 . 显然, 边 上的流量 不会超过该边上的容量 , 即 例7.15就是最优连线问题，实际上是求连接各城镇之间的最小生成树问题.下面给出图论中树与生成树的有关定义，以及相关的定理. 1. 树的基本概念 定义7.7 如果无向图是连通的, 且不包含有圈, 则称该图为树(Tree). 如果有向图中任何一个顶点都可由某一顶点 到达, 则称 为图 的根(Root). 如果有向图 有根, 且它的基础图是树, 则称 是有向树. 关于树有如下定理. 定理 7.2 设 是有限的无向图, 如果顶点度(degree of a vertex) 满足 定理7.3 每棵树至少有一个顶点的度为1. 定理7.4 设 是连通图, 且边数 顶点数, 则图中至少有一个顶点的度为1. 定理 7.5 设 是具 有个顶点的无向连通图, 是树的必要充分条件是: 有 条边. 2. 生成树的基本概念 定义 7.8 若 是包含 的全部顶点的子图, 它又是树, 则称 是生成树或支撑树(Spanning tree). 对于生成树有如下定理. 定理 7.6 如果无向图 是有限的、连通的, 则在 中存在生成树. 定义 7.9 在一个赋权图中，称具有最小权和的生成树为最优生成树或最小生成树. Kruskal在1956年给出求最优生成树的一个算法（称Kruskal算法），该方法是“避圈法”的推广. 　　算法 7.1 （Kruskal 算法） (1) 选择边　　, 使得　　 　尽可能小; (2) 若已选定边　　　　　　　, 则从　　　　　　　　　中选取边　　　使得 ①　　　　　　　　　为无圈图; ②　　　　是满足①的尽可能小的权. (3) 当(2)不能继续执行时, 停止. 4. 最优连线问题（最小生成树）的数学表达式 将最优连线问题写成数学规划的形式还需要一定的技巧. 设　　是两点　与　之间的距离，　　　　或1（1表示连接，0表示不连接），并假设顶点1是生成树的根.则数学表达式为: 2. 写出相应的规划问题 　　设　是事件　的开始时间， 为最初事件，为　最终事件.希望总的工期最短，即极小化　 　.设　　　是作业 的计划时间，因此，对于事件 与事件 有不等式： 由此得到相应的数学规划问题 3. 问题求解 例7.20(继例7.19) 用LINDO软件求解例7.19 解： 按照数学规划问题（7.37）-（7.39）编写 INDO程序，程序名： exam0720.ltx min x8 - x1 subject to 2) x2 - x1 = 5 3) x3 - x1 = 10 4) x4 - x1 = 11 5) x5 - x2 = 4 6) x4 - x3 = 4 7) x5 - x3 = 0 8) x6 - x4 = 15 9) x6 - x5 = 21 10) x7 - x5 = 25 11) x8 - x5 = 35 12) x7 - x6 = 0 13) x8 - x6 = 20 14) x8 - x7 = 15 end LINDO软件的计算结果如下： LP OPTIMUM FOUND AT STEP 9 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 51.00000 VARIABLE VALUE REDUCED