专题复习：空间立体几何.doc

立体几何专题训练 一、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 1．设是直二面角，，，，， 则????????? 。 2．、、是两两垂直且交于O点的三个平面，P到平面、、的距离 分别是2、3、6，则????????? 。 3． 如图，在正三棱柱中，AB=1。若二面角的大小 为，则点到直线AB的距离为???????? 。 ．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二 面角等于_______________ 5．将直角三角形ABC沿斜边上的高AD折成120°的二面角，已知直角 边，那么二面角A—BC—D的正切值为 二、解答题（本大题共6小题，共75分） 6.如图，ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱。 （I）求证：BD⊥平面ACC1A； （II）若二面角C1-BD-C的大小为60°，求异面直线BC1与AC所成角的大小。 7．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝2，，， ⑴求证：平面AB1C⊥平面BB1C； ⑵求点B到平面AB1C的距离。 8.? 如图1，已知ABCD是上．下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形， 将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2. 　　（Ⅰ）证明：AC⊥BO1；（Ⅱ）求二面角O－AC－O1的大小. 9．如图，△ABC和△DBC所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD， ∠ABC＝∠DBC＝120。， 求：⑴A、D连线和平面DBC所成的角；⑵二面角A—BD—C的正切值。 10． 如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点， 面CDE是等边三角形，棱。 （1）证明FO//平面CDE； （2）设，证明EO⊥平面CDF。 11.如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点， ?????? ?????? （I）求证：平面BCD； ?????? （II）求异面直线AB与CD所成角的大小； ?????? （III）求点E到平面ACD的距离。 参考答案 一、填空题 ?????? 1． 2．7??? 3．? ?4． 5． 二、解答题 6． 解法一： （1）∵ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱 ∴CC1⊥平面ABCD ∴BD⊥CC1 ∴ABCD是正方形， ∴BD⊥AC 又∵AC，CC1平面ACC1A1，且AC∩CC1=C， ∴BD⊥平面ACC1A1 ? （II）设BD与AC相交于O，连接C1O。 ∵CC1⊥平面ABCD、BD⊥AC。∴BD⊥C1O∴∠C1OC是二面角C1-BD-C的平面角 ∴∠C1OC=60° 连接A1B∵A1C1∥AC∴∠A1C1B是BC1与AC所成角. 设BC=a,则CO= 在△A1BC1中，由余弦定理得 ∴异面直线BC1与AC所成角的大小为arccos 解法二:（I）建立空间直角坐标系D-xyz,如图。 设AD=a，DD1=b，则有D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0）， C（0，a，0），C1（0，a，b）， ∴BD⊥AC，BD⊥CC1 又∵AC，CC1平面ACC1A1，且AC∩CC1=C， ∴BD⊥平面ACC1A1。 （II）设BD与AC相交于O，连接C1O，则点O坐标为) ? ∴BD⊥C1O，又BD⊥CO，? ∴∠C1OC=60° ∴ ∴异面直线BC1与AC所成角的大小为 7．⑴由已知条件立即可证得， ⑵在平面BB1C内作BD⊥B1C于D，由⑴得BD⊥面AB1C， ∴BD为B到面AB1C的距离，∴（本题也可用体积转换） 8．．解法一（I）证明 由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1. ?????? 所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角， ?????? 即OA⊥OB. 故可以O为原点，OA、OB、OO1 ???????? 所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， ?????? 如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，）O1（0，0，）. ?????? 从而 ?????? 所以AC⊥BO1. （II）解：因为所以BO1⊥OC， 由（I）AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC，是平面OAC的一个法向量. 设是0平面O1AC的一个法向量， 由??? 得. 设二面角O—AC—O1的大小为，由、的方向可知，， ?????? 所以cos，= ?????? 即二面角O—AC—O1的大小是 解法二（I）证明 由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1，所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB. 从而AO⊥平面OBCO1，OC是AC在面OBCO1内的射影. ?????? 因为??? ， ?????? 所以∠OO1B=60°，∠O1OC=30°，从而OC⊥BO1 ?????? 由三垂线定理得AC⊥B