Bertrand定理证明.pdf

Bertrand 定理：只有两种类型的有心力场，其中一切有界运动的轨道是封闭的，这两种场的 1 2 势能与 或者r 成正比。 r Bertrand 定理的证明： 首先，根据拉格朗日方程，显然可以得到： 2 ∂U r M ( ) mr − + 0 mr3 ∂r d M d 1 d 1 d 因为： ，同时用r 做代换，因此 =− dt mr2 dϕ u du u2 dr 2 d u m d 1 ⎛ ⎞ u U 那么微分方程可以写作： 2 + =− 2 ⎜ ⎟，这又称作Binet 公式。 dϕ M du u ⎝ ⎠ 2 d u 对微分方程进行改写： +u J u 2 ( ) dϕ m 1 d ⎛ ⎞ 其中，J u =− f ，其中， U x =−f x ，显然，f 是力对半径的函数。 ( ) 2 2 ⎜ ⎟ ( ) ( ) M u u dx ⎝ ⎠ 2 d u 存在转折点有J u u ，即 0 ，这样的点是存在的，因为闭合的轨道要求轨道 ( ) 0 0 dϕ2 u u0 dr du 1 dr r 的取值必须是有界的， r r 0 ，因为： =− ，根据 即在 和 的点上都有 max min dϕ dϕ r2 dϕ 2 1 1 d u 拉格朗日中值定理，在u 和u 之间必有一个点u 有 0 。 min r