高等代数教案第三章行列式.doc

行列式 综述 解方程是代数中的基本问题,在高等代数中主要研究线性方程组.线性方程组是线性代数研究对象的具体模型,而行列式是研究线性方程组的一个有力工具,利用它在某种条件下可得到类似于一元二次方程求解公式那样：用方程组的系数的某种关系来表达有解的条件、解的个数和求解公式.历史上正是为了解决通过方程组的系数来表达方程组求解的有关问题而引进行列式作为工具的,并且行列式在其它领域也经常用到.本章给出行列式的定义、性质、计算及应用. 行列式是Leibnitz于1693年（日本人关孝和更早）提出的概念；定义方法有多种,主要有归纳定义、用n次置换来定义、引入排列用排列的奇偶性来定义、还有用公理化方法来定义（用多重线性函数的概念来定义）,本书用第三种方法,为此须引入关于排列的有关概念.由定义行列式实质上是一个数,要弄清构成此数的特征（三个且与行列式符号形式下,行、列、元素有关等）；由定义行列式的计算是一个复杂的问题,行列式的性质不仅有助于理解行列式的概念,同时从中可得出行列式计算的四种允许变换,以此总结出行列式计算的一些基本方法及常用技巧,这是本章的重点内容；然后作为行列式计算的另一种简化思想——降阶,介绍了依行（列）展开公式；最后介绍了行列式的应用（Cramer法则）. 目的和要求 掌握n阶行列式的概念、性质,会运用行列式的性质降阶和三角化熟练地计算数字行列式,并初步掌握字母行列式的计算方法；掌握Cramer法则解线行方程组；掌握行列式性质与计算的推广——Laplace定理. 3.1 线性方程组与行列式 一 教学思考 本节主要是讨论线性方程组（含n个未知量n个方程）的用系数间的关系表达有无解及有解时解的形式问题,需引入行列式,进而可以讨论分析二、三阶行列式的构成规律,为定义n解行列式埋下伏笔,同时引入下节关于排列的问题（为确定项的符号）. 二 教学过程 线性方程组——一次方程组叫线性方程组.一般形式为： （1） 叫未知量,叫未知量的系数,叫常数项. 方程组的解指的是一组数（）,用其依次代替（1）中的未知量后,（1）的每个方程都成为恒等式. 线性方程组的问题是：1）是否有解；2）有解时解的 个数及解法；3）有无穷解时解间关系（结构）. 注：本章讨论较特殊的线性方程组——未知数的个数与方程个数相等的情形.为此须将二、三阶行列式的概念进行推广,引入n阶行列式这一工具. 先看给定线性方程组： （2） 若,则（2）有（唯一）解： , . 其中.（此结果可由消元法具体求解一下.） 同样对于 （3） 当时,（3）有（唯一）解： , , . 结论：引入了二、三阶行列式后,不但解决了一类线性方程组的求解问题,而且解的形式也是类似的（可用方程的系数表示出来）.下面为解决含n个未知量n个方程的线性方程组的求解问题,需将二、三阶行列式的概念合理地推广至n阶,这需要用到排列的有关问题. 3.2排列 一 教学思考 作为推广行列式概念的准备工作,本节主要介绍排列的概念,反序、反序数及奇偶排列的有关概念和性质；其中有关概念不难理解,重要的是其中“对换改变排列的奇偶性”的证明是一典型的化归思想（由特殊到一般）的运用；一些基本方法如计算反序数的思路与方法应掌握. 二 教学过程 基本概念 （1）排列：定义1 由n个数码1,2,…,n组成的一个有序数组,称为一个n元排列,简称排列.（2）反序、反序数定义2 在一个排列里,如果某一个较大的数码排在一个较小的数码前面,就说这两个数码构成一个反序（逆序）,（否则构成顺序）.在一个排列里出现的反序总数叫做这个排列的反序数,用表示排列的反序数.（3）奇、偶排列定义3 有偶数个反序的排列叫偶排列（即反序数为偶数）；有奇数个反序的排列叫奇排列（即反序数为奇数）. （4）对换定义4 把一个排列里任意两个数码和j互换位置,而其余数码不动,就得到一个新排列.对一个排列所施行的这样一个变换叫做一个对换,用（,j）表示. 对换及排列的性质 （1）Th3.2.1设和是n个数码的任意两个排列,那么总可以通过一系列对换由得出. 引理1 对换的可逆性——即对同一排列连续施行两次同一对换排列还原.（显然） 引理2 任意n元排列可经过一系列对换变为自然排列12…n. 引理3 自然排列可经一系列对换变为任意一个n元排列. 事实上,由引理2任意一个n元排列可经一系列对换变为自然排列,由引理1对换的可逆性,故自然排列可经（同样的）一系列对换变为任一排列. Th3.2.2每一对换都改变排列的奇偶性.Th3.2.3时,n个数码的排列中,奇排列与偶排列的个数相等,均为个. 3.3 n阶行列式 一 教学思考 1．本节首先在分析二、三阶行列式的构成规律及上节排列的基础上,将行列式的概念推广到n阶