高等代数教案第二章多项式.doc

第二章 多项式 一 综述 1. 多项式是中学代数的主要内容之一.本章从两个不同的角度对一元多项式进行了讨论；首先用纯代数的观点,从一元多项式的一般形式入手,在一般数域上讨论了一元多项式,围绕着一元多项式的因式分解这一中心内容,分别讨论了一元多项式的概念.运算.整除理论.最大公因式和重因式等内容,从而建立了一元多项式的一般理论；然后用代数的观点进一步在具体数域（即）上讨论了一元多项式的根与因式分解问题,从而在具体数域上发展了多项式的因式分解理论.在学习一元多项式的基础上,鉴于多元多项式的复杂性,仅讨论了多元多项式的基本概念与对称多项式基本定理及应用. 2. 本章内容学生部分熟悉,但如此严格地系统讨论一元多项式的整除理论及多项式的因式分解和多项式的根的问题还是初次见到,特别是对于准确地刻化概念.严谨地推导论述,学生很不习惯,因此在教学中要注意训练学生正确掌握概念.学会推理有理有据,做好示范. 二 内容要求 1. 内容：一元多项式的定义和运算.多项式的整除性（整除、带余除法）.最大公因式（概念.性质.辗转相除法.互素）.唯一分解定理.重因式.多项式函数与多项式的根.复数.实数.有理数域上的多项式的因式分解.有理数域上的多项式的可约性及有理根.多元多项式.对称多项式（不讲）. 2. 要求：掌握数域上的一元多项式的概念.运算.次数定理及应用；理解多项式的整除概念和性质,理解和掌握带余除法；掌握最大公因式的概念.性质.求法,以及多项式互素的概念和性质；理解不可约多项式的概念,掌握多项式的唯一分解定理；理解多项式的导数及重因式的概念,掌握多项式有无重因式的判别法；掌握多项式函数及多项式的根的概念；掌握复.实数域上的多项式因式分解定理；熟练掌握有理系数多项式的有理根的求法. 2.1一元多项式的定义和运算 一 教学思考 1. 本节纯形式地定义了一元多项式的概念及有关运算（加.减.乘）.从中注意一元多项式的定义与中学数学中多项式的联系与区别,以及多项式相等的概念分析.另外一个重要的结论是所谓的“次数定理”,其本身证明易于理解,重要的是应用它证明有关问题. 2. 本节内容较简,注意概念的准确.严密. 二 教学过程 1. 基本概念 定义1数环上一个文字的多项式或一元多项式指的是形式表达式： （1）其中. 定义2若数环上两个一元多项式具有完全相同的项,或者仅差一些系数为0的项,则称和相等.记作. 定义3若 , 叫做的最高次项,非负整数叫做的次数,记作.（即. 定义4设, 是数环上两个多项式,且； （1）与的和（记为）指的是多项式： ,这里时,取. （2）与的积（记为）指的是多项式： , 其中,. （3）由多项式运算的定义,数环上两个多项式的和.差.积的系数可由的系数的和.差.积表示,由于的系数属于,因而它们的和.差.积也属于,所以数环上两个多项式的和差积仍是数环上的多项式,故可类于数环的概念：我们用表示数环上文字的多项式的全体,且把其中如上定义了加法和乘法的叫做数环上的一元多项式环. 2. 基本定理 多项式的加法和乘法满足如下算律：设,, A）；（交换律） B）, ； （结合律） C）； （分配律） TH2.1.1（次数定理）设 ,且,；则（1）当时,； （2）. Cor2.1.2 至少有一个成立. Cor2.1.3 （乘法消去律）若而,则. 2．2多项式的整除性 一 教学思考 1. 在内,除法不是永远可以施行的,因此关于多项式的整除性的研究,也就是一个多项式能否除尽另一个多项式的研究,在多项式理论中占有重要地位.本节限于数域上讨论多项式的整除性,其与整数的整除性类似,注意对照学习. 2. 多项式的整除性是多项式之间的一种关系（等价关系）,为加深对此概念的理解,需掌握一些特殊多项式（零多项式,零次多项式）间的整除关系及整除的性质. 3. 数域上任意两个多项式总有带余除法结论成立,其证法思想是在中学代数中多项式的长除法的运算表示实质的一般化,唯一性用同一法. 4. 证明的思想可从定义.带余除法得到的充要条件以及将分解成两项之和而每一项能被整除,或将分离出作为一个因子来考虑. 5. 整除性不随数域扩大而改变是由带余除法得到的一个非显而易见的结论. 二 内容重点.要求 1. 内容：一元多项式整除的定义.性质,带余除法. 2. 重点：整除的定义.带余除法定理（它是判断整除.最大公因式及多项式的根的基础）. 3. 要求：正确理解掌握整除概念.性质,掌握带余除法定理. 三.教学过程 1. 多项式的整除及性质 定义1设若使得 （1） 则称整除（除尽）；用符号表示.用符号表示不整除,（即对都有）. 当时,称是的一个因式,是的一个倍式. A）若.,则；（传递性） B）若.,则； C）