正、余弦定理的综合应用.doc

第五课时：正、余弦定理的综合应用 知识梳理 1.正弦定理： ，其中为外接圆的半径。 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题. （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角） 2.余弦定理： (1)余弦定理： ； ； . 在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以c2=a2+b2. （2）余弦定理的推论： ； ； . 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. 3.三角形面积公式：== 4.三角形的性质： ①.A+B+C=, , , ②.在中, ＞c , ＜c ; A＞B＞, A＞BcosA＜cosB, a ＞b A＞B ③.若为锐角，则＞,B+C ＞,A+C ＞; ＞，＞，＋＞ 5.(1)若给出那么解的个数为：(A为锐角)，几何作图时，存在多种情况．如已知a、b及A，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数． 已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况： (1)A为锐角 一解 两解 一解 若，则无解； （2）当A≥90 若ab,则一解 若a≤b，则无解 典例剖析 题型一 三角形多解情况的判断 例1.根据下列条件，判断有没有解？若有解，判断解的个数． （1），，，求； （2），，，求； （3），，，求； （4），，，求； （5），，，求． 题型二 正、余弦定理在函数中的应用 例在ABC中，AB＝5，AC＝3，D为BC中点，且AD＝4，求BC边长.ABC中，已知，求△ABC的面积. 点击双基 一. 选择题： 1. 在中，，则A为（ ） 2. 在（ ） 3. 以4、5、6为边长的三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角或钝角三角形 4. 在中，化简___________ 5. 在中，，则_______， 课外作业 一、选择 1. 在中，，则A等于（ ） 2.在△ABC中，已知b=40,c=20,C=60,则此三角形的解的情况是（ ） A. 有一解 B. 有两解 C. 无解 D. 有解但解的个数不确定 3. 在中，，则三角形为（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 4. 在中，，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 正三角形 5 在△ABC中，若，则其面积等于（ ） A B C D 6 在△ABC中，角均为锐角，且 则△ABC的形状是（ ） A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形 7.在△ABC中，cos=,则△ABC的形状是（ ） A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 8.在△ABC中，A=，BC=3，则△ABC的周长为（ ） A. 4 B. 4 C. 6 D. 6 二. 填空题： 9. 在中，已知，则___________ 10. 在中，A、B均为锐角，且，则是_________ 11. 三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程的根，则三角形的另一边长为 三. 解答题： 12. .根据下列条件，判断是否有解？有解的做出解答． ① a=7,b=8,A=105 ② a=10,b=20,A=80 ③ b=10,c=5,C=60 ④ a=2,b=6,A=30 13：在中，，，，求的值和的面积. 14. 已知的外接圆半径是，且满足条件。 （1）求角C。 （2）求面积的最大值。 参考答案 典例剖析 题型一 三角形多解情况的判断 例1.解：（1）∵，∴只能是锐角，因此仅有一解． （2）∵，∴只能是锐角，因此仅有一解． （3）由于为锐角，而，即，因此仅有一解． （4）由于为锐角，而，即，因此有两解，易解得． （5）由于为锐角，又，即， ∴无解． 评析：对于已知两边和其中