线性向量及解的结构之习题课4.ppt

* 第一章 习题课 一、向量的定义 定义: n 个有次序的数a1, a2, ···, an所组成的数组称为n维向量, 这n个数称为该向量的n个分量, 第 i 个数ai 称为第 i 个分量. 分量全为实数的向量称为实向量, 分量为复数的向量称为复向量. 行向量; 列向量. 向量的相等; 负向量; 零向量. 向量按照矩阵运算法则进行运算. 　　向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运算,满足下列八条运算规则: 二、向量的线性运算 (1) 加法交换律: a +b = b + a ; (2) 加法结合律: (a +b ) + g = a + ( b +g ) ; (3) 对任一向量a , 有a +O = a; (4) 对任一向量a, 存在负向量–a , 有a +(–a ) = O ; (5) 1 a = a ; (6) 数乘结合律: k(l a) = (l k)a ; (7) 数乘对向量加法的分配律: k( a + b ) = ka + kb ; (8) 数量加法对数乘的分配律: ( k + l ) a = ka + l a ; 其中a, b, g为n维向量, 1, k, l为数, O为零向量. 除了上述八条运算规则, 显然还有以下性质: (1) 0a =O; (2) 若 ka = O, 则或者k=0, 或者a = O; (3) 向量方程: a + x = b, 有唯一解 x = a - b ; 其中a, b 为n维向量, 0为数零, k任意数, O为零向量. 三、线性组合 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组. 定义: 给定向量组A: ?1, ?2, ···, ?m, 对于任何一组实数k1, k2, ···,km, 向量 k1?1 + k2?2 + ··· + km?m 称为向量组A: ?1, ?2,···, ?m一个线性组合, k1, k2, ···,km称为这个线性组合的系数. 给定向量组A: ?1, ?2, ··· , ?m和向量b, 如果存在一组数?1, ?2, ···,?m, 使 b = ?1?1 + ?2?2 + ··· + ?m?m 则向量b是向量组A的线性组合, 这时称向量b能由向量组A线性表示. 定理1: 向量b能由向量组A线性表示的充分必要条件是矩阵A=(?1, ?2, ···, ?m)与B=(?1, ?2, ···, ?m, b)的秩相等. 定义: 设有两向量组 A: ?1, ?2, ···, ?m 与 B: ?1, ?2, ···, ?s . 若B组中的每一个向量都能由A组线性表示, 则称向量组B能由向量组A线性表示; 若向量组B与向量组A可以相互线性表示, 则称这两个向量组等价. 四、线性相关性 定义: 给定向量组A: ?1, ?2, ···, ?m , 如果存在不全为零的数 k1, k2, ···,km , 使 k1?1 + k2?2 + ··· + km?m = O 则称向量组A是线性相关的, 否则称它是线性无关. 定理3: 向量组?1, ?2, ···, ?m线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A=(?1, ?2, ···, ?m)的秩小于向量个数m; 向量组线性无关的充分必要条件是R(A)=m. 定理2: 向量组 ?1, ?2, ···, ?m (当 m?2 时)线性相关的充分必要条件是?1, ?2, ···, ?m中至少有一个向量可由其余 m–1个向量线性表示. 定理4: (1)若向量组A:?1, ?2, ···, ?m线性相关, 则向量组B: ?1, ?2, ···, ?m, ?m+1也线性相关; 反言之, 若向量组B线性无关, 则向量组A也线性无关. (2)设 即?j 添上一个分量后得向量?j. 若向量组A: ?1, ?2, ···, ?m线性无关, 则向量组B: ?1, ?2, ···, ?m也线性无关; 反言之, 若向量组B线性相关, 则向量组A也线性相关. (3) m个n维向量组成的向量组当维数n小于向量个数m时一定线性相关 (4) 设向量组A: ?1, ?2, ···, ?m线性无关, 而向量组 B: ?1, ?2, ···, ?m, ? 线性相关, 则向量? 必能由向量组A线性表示, 且表示式是唯一的. 定义: 设有向量组A, 如果在A中能选出r 个向量 A0: ?1, ?2,···, ?r, 满足 (1)向量组A0: ?1, ?2,···, ?r, 线性无关; (2)