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义务教育水平评价 摘要 为了不同地区的义务教育水平，测试试题调查问卷当地学生的学习水平教育水平背后的影响因素 目录 1. 问题重述 1 2. 模型假设 1 3. 符号说明 1 4. 问题分析 1 5. 问题一 3 5.1. 模型的分析 3 5.2. 基于主成分分析方法的综合评价模型的建立 3 5.2.1. 数据的标准化 3 5.2.2. 计算相关系数矩阵R。 3 5.2.3. 计算特征值和特征向量。 4 5.2.4. 选择主成分，计算综合评价值。 4 5.3. 模型的求解 4 5.4. 模型结果分析 6 5.4.1. 三个地区学生学习水平的评价 6 5.4.2. 三个地区义务教育水平的分析 7 6. 问题二 7 6.1. 模型的分析 7 6.2. 信息的提取、处理与影响义务教育水平的因素划分 7 6.3. 相关性分析 8 6.3.1. 方法一 ：因素和指标的聚类分析 8 6.3.2. 方法二：利用距离进行相关性分析 9 6.4. 影响教育水平的因素分析 10 7. 建议 10 8. 模型的评价与改进 11 8.1. 优点 11 8.2. 缺点 11 9. 参考文献 11 附录 12 问题重述 为了测试不同地区的义务教育水平，选择了数学课程为代表，选择了三个地区：城市A、城镇B、乡村对同一年级学生进行调查调查包括两部分，测试试题调查问卷测试试题的目的旨在了解当地学生的学习水平，调查问卷的目的旨在挖掘当地教育水平背后的影响因素。根据这些数据资料，建立数学模型，对三个地区义务教育水平进行分析给出三个地区学生的学习水平的评价结果因素分析，根据研究结果向教育部门给出建议 模型假设 不考虑问卷调查中部分学生的过于离谱的作答。 不考虑家庭教育等因素对于学生学习能力的影响。 在主成分分析中，当主成分的累积信息贡献率超过85%时，即可以代替原来的指标。 对没有客观结果的问题不予考虑（18题）。 符号说明 符号 描述 x 某一指标的得分 R 各个指标之间的协相关矩阵 协方差矩阵的特征根 主成分分析方法中的主成分值。 特征值的信息贡献率 特征值的累积贡献率 Z 综合评价得分 问题分析 本题是中央民族大学校内数学建模竞赛赛题。问题贴近实际，含有大量的数据，具有很强的趣味性。如果模型选取的当，得到的结果将具有较强的现实借鉴意义。 题目首先要求对三个地区的义务教育水平进行一个综合的、客观的评价。其主要目的在于通过数学的学习水平，分析城市、乡镇、农村三个地区的义务教育水平是否有差距、差距有多大以及主要存在于哪些方面。 数学水平的高低取决于空间与图形，数与代数，统计与概率综合应用 问题一 模型的分析 学生数学学习水平高低，主要由空间与图形，数与代数，统计与概率综合应用R。 计算特征值和特征向量。 选择p( p ≤ 4)个主成分，计算综合评价值。 数据的标准化 主成分分析方法受变量量纲的影响较大，量纲不同、变取值范围不同，结果也可能不一样。这是主成分分析的最大问题，因此实际中一般先把先把各变量的数据标准化。本题中选取标准差标准化方法。 七道题可划分为四个模块，每个模块均可以看成是评价学生学习水平的一个指标。取每个模块的得分为，属于该模块的所有题目的得分的均值。 参加调查的学生的数目共442个，评价学生学习水平的指标变量有4个（四个模块的得分）。假设第i个学生的第j 个模块的得分为，将各指标值转换成标准化得分的公式为： 式1 其中，表示第j个模块得分的样本均值，表示第j个模块得分的标准差。在这里，考虑到参加抽样的三个地区的学生数目的不一致，取三个地区第j个模块得分期望的平均值，均取三个地区第j个模块得分的标准差的方均根。 计算相关系数矩阵R。 假设四个指标的相关系数矩阵为。则 式2 其中表示第i个模块得分与第j个模块得分之间的相关系数。 计算特征值和特征向量。 计算上述相关系数矩阵R的特征值，以及相对应的特征向量，，，，其中，由4个特征向量组成的新的指标变量为： 式3 式中，表示第i主成分。 选择主成分，计算综合评价值。 首先，计算特征值（j=1,2,3,4）的信息贡献率和累积贡献率。主成分的信息贡献率： 式4 主成分的累积贡献率： 式5 当接近于1时（本问题中取0.85）,选择前p个指标变量作为p个主成分，代替原来的4个指标进行综合分析。 综合得分可以表示为各个主成分的值与相应的重要程度（信息贡献率）的乘积的和，即： 式6 其中，表示第j个