学好函数五要点.doc

学好函数五要点 初中数学园地 E-mial:zzxhh@ 作者：张振兴 单位：河北省黄骅市羊三木乡中心学校（061100） 电话：0317-5985200（办），1XXXXXXXXXX（手机）；E-mmail：zzxhh@ 说明：适用于贵报初三版第14期第2版. 学习函数这部分知识，我们应该把握好以下五个要点： 1、平面直角坐标系的建立，使数形结合的数学思想方法成为主线，要熟悉各类函数图象的位置与系数之间的关系，善于把“数”（比如坐标、解析式）与“形”（比如点、图象）有机的结合起来，顺利实现互相转化. 2、函数本身就是一种重要的数学思想.应用时首先要找准两个相关的变量，分析它们之间的联系，用含有两个变量的等式表达出来，最终化简变形为解析式的一般形式，利用函数性质解决问题. 3、如果把函数中的两个变量视为未知数，把常量视为系数，则一个解析式就是一个方程.所以，方程思想常与函数思想并称.函数图象与x轴的交点问题，等价于函数值为0时的方程的解的问题；函数图象与y轴的交点问题，等价于自变量为0时的方程的解的问题，所以常数项就是函数图象与y轴的交点的纵坐标；两个函数图象的交点问题，等价于两个解析式组成的方程组的解的问题. 4、待定系数法是求函数解析式的常用方法.一般分成设（设解析式）、列（列方程或者方程组）、解（解这个方程或者方程组）、代（代入所设解析式）四个步骤. 5、掌握一些函数的变量数值变化规律，比如在一个表中的两个变量x、y，若x、y的乘积一定，则这两个变量为反比例函数关系；若x、y的比值一定，则这两个变量为正比例函数关系；当x均匀变化时，y也均匀变化，则这两个变量为一次函数关系. 下面，以2004年中考数学试题为例，加以说明。 例1（上海市）在函数的图像上有三点、、，已知，则下列各式中，正确的是（ ） A.； B. ； C. ； D. ． 分析：单从字面上比较，很难得到答案。下面利用数形结合思想解题，根据题意画出函数图象，当k 0时，双曲线位于第一、三象限内，如图1所示。根据，在横轴上标出x1、x2、x3各点，并过它们分别作横轴的垂线与双曲线相交，过交点再作纵轴的垂线，垂足处对应的y值即为y1、y2、y3。根据表示y1、y2、y3三个数的点的位置，就能很容易判断出它们的大小关系。 由此，可知，故选C. 在这个解题过程中，我们采用了“数——形——数”的转化思路。 例2（江苏省徐州市）如图，在直角坐标系中，直线与函数y x 0 的图象相交于点A、B，设点A的坐标为 ， ，那么长为,宽为的矩形面积和周长分别为 A．4，12 B．8，12 C．4，6 D．8图（其中x 0），解得，或者 所以，矩形面积）（3-） 32-（）2 9-5 4； 矩形）（3-）] 2×6 12. 因此，选A． y（千米）与所用的时间x（小时）之间关系的函数图象. 1）根据图象回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？ 2）求小明出发两个半小时离家多远？ 3）求小明出发多长时间距家12千米？y（千米）与所用的时间x（小时）之间关系的函数（1）由图象可知小明到达离家最远的地方需3小时；此时，他离家30千米.（2）小明出发两个半小时设直线CD的解析式为y k1x+b1, 由C（2，15）、D（3，30），, 解得. 因此，线段CD的解析式为y 15x-15（2≤x≤3）x 2.5时，y 22.5（千米）答：出发两个半小时，小明离家22.5千米. 3）小明距家12千米设过E、F两点的直线解析式为y k2x+b2 由E（4，30）、F（6，0），代入得y -15x+90, 4≤x≤6 A、B两点的直线解析式为y k3x，∵B（1，15） y 15x. 0≤x≤1 ………（1分） y 12，得x x 4/3（小时）. 答：小明出发 4/5小时或12千米. x 米 5 10 20 30 40 50 y 米 0.125 0.5 2 4.5 8 12.5 （1）请你以上表中的各对数据（x，y）作为点的坐标，尝试在图5所示的坐标系中画出y关于x的函数图象； （2）①填写下表： x 5 10 20 30 40 50 ②根据所填表中数据呈现的规律，猜想出用x表示y 的二次函数的表达式： . （3）当水面宽度为36米时，一艘吃水深度（船底部到水面的距离）为1.8米的货船能否在这个河段安全通过？为什么？ 分析：（1）本题中的两个变量x、y之间存在的关系特征不很明显，可以按要求画出图像，根据图像的形状推测函数类型。图象如图6所示. （2）① 根据题意，可以填写下表； x 5 10 20 30 40 50 200 200 200 200 200 20