整数直角三角形群及其应用示例.doc

整数直角三角形群及其应用示例 吴敏金 （mjwu@） 所谓整数直角三角形是指直角三角形的斜边与两条直角边的长度都是整数。如，人们熟知的“勾三股四弦五”，即 32+ 42=52。较早涉及整数直角三角形问题的有Project Euler[1]。虽然有些文献[2,3]考察了整数直角三角形的部分性质，但不能完整地有效地回答对于给定一整数边长作为直角边（或斜边或周长）能否构成整数直角三角形以及如何构成等问题。对此，本文将完整地考察整数直角三角形构成及其性质；给出构成整数直角三角形的快速算法；进而考察整数直角三角形的运算及其构成交换群与特性，并导出有理角群；作为应用，考察有理角的Logistic混沌序列。 一、整数直角三角形基本解的通式 记整数直角三角形为[a,b,c]：a2+b2 =c2 (0a、bc)。值得注意的是，在全部的整数角三角形中，有许多是相似的，即[na,nb,nc]~[a,b,c] (n为自然数)。在整数角三角形群中，[na,nb,nc]被看成同一元素[a,b,c]。为此约定：整数a,b,c互质，无公因子，并称之整数直角三角形基本解（也称为素直角三角形[2]）。 整数直角三角形基本解的全体，再加上一个特殊的单位线段[1,0,1]构成整直角三角形基本集，记为Z。而[1,0,1]称为整数直角三角形基本集的幺元（或零元）。下一节的分析将表明此零元的重要性。 由文献[2,3]，稍加整理，可得整数直角三角形的通式（导出过程见附１）： 对于任意的互质奇数?: pq0，p=2m+1,q=2n+1 a=pq=(2m+1)(2n+1)........................................（奇数） b=(p2 -q 2)/2 =2(m(m+1)-n(n+1))..................（４倍数）　　　　　　　　　　　（式１） c= (p 2+q 2)/2= 2(m(m+1)+n(n+1))+1.............（４倍数+1）。 可得整数直角三角形基本解[a,b,c]。其全体呈【奇，偶，奇】形式，记为Z0 。 整数直角三角形的通式的另一等价形式： 对于任意的互质的一奇一偶数?: mn0, a=m2-n2 b=2mn…………………………………………………………………………………（式２） c=m2+n2 将式１（或式２）所得的整数直角三角形基本解[a,b,c]中的a,b交换位置，得另一个整数直数角三角形基本解[b,a,c]，称之为[a,b,c]的补元。集合Z0中的整数直角三角形基本解的补元全体呈【偶，奇，奇】形式，记为集合Z1。集合Z0与集合Z1互为补集。 这样，整数直角三角形基本集Z是由其通式（式１或式２）所得的Z0及其补集Z1与零元[1,0,1]所组成的。于是有， 【定理１】　整数直角三角形基本解的两条直角边必一为奇数，另一为４倍数；而斜边必为４倍数+1。 【定理２】　当且仅当对于给定的任意奇数或４倍数作为直角边均可构成整数直角三角形基本解；只有４倍数+1作为斜边才可能整数直角三角形基本解，但不是所有的４倍数+1都能构成的整数直角三角形基本解（进一步的结论见下一节的）。 若干整数直角三角形基本解数据见附２。 二、求解整数直角三角形基本解的快速算法 对于给定一整数作为直角边（或斜边或周长），直接用(式１或式２)求解整数直角三角形基本解[a,b,c]较为麻烦，需对整数a（或b）进行质因子分解。对此，给出整数直角三角形基本解通式的又一种表达： 令p=q+2k (k0)，则有 a=q 2+2kq， b=2kq+2k 2,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（式３） c=q 2+2kq+2k 2 下面分别针对不同情况给出快速的求解算法。 (１)，已知奇数a，作为直角边，求解整数直角三角形基本解 由（式３），q=sqrt(k 2+a)-k，sqrt为开平方。 令K=max(k). 由K 2+a=(K+1) 2，K=(a-1)/2。故k必在[1, (a-1)/2]。 对于所有的k从１到K,　计算sqrt(k 2+a)。如为整数，则求得q与p, 进而得[a,b,c]。（至少有一解，即k=(a-1)/2。） 例如，a=45, 则K=22。 k=2,q=sqrt(2 2+45)-2=5,p=5+2*2=9;　得整数直角三角形基本解[ [45,28,53]； k=22,q=sqrt(22 2+45)-22=1,p=1+2*22=45, 得整数直角三角形基本解[45,1012,1023]。 其他的k=1,3,…,21均无解。 【推论１】　当a为质数或质数的次方，a=pn, 则仅有唯一的[奇，偶，奇] 形式的整数直角三角形基本解 [pn, ( pn-1)/2, (pn+1)/2]。 (2)，已知4