函数一轮复习第五课时-函数模型及其应用.doc

函数模型及其应用 一．要点精讲 1．解决实际问题的解题过程 （1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量； （2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式； （3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解. 这些步骤用框图表示： 2．解决函数应用问题应着重培养下面一些能力： （1）阅读理解、整理数据的能力：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等； （2）建立函数模型的能力：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域； （3）求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用。 二．典例解析 题型1：正比例、反比例和一次函数型 例1．某地区1995年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续5年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给的信息进行预测：（1）如果不采取任何措施，那么到2010年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷；（2）如果从2000年底后采取植树造林等措施，每年改造0.6万公顷沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积减少到90万公顷？ ? 观测时间 1996年底 1997年底 1998年底 1999年底 2000年底 该地区沙漠比原有面积增加数（万公顷） 0.2000 0.4000 0.6001 0.7999 1.0001 ? 题型2：二次函数型 例2．一辆中型客车的营运总利润y（单位：万元）与营运年数x（x∈N）的变化关系如表所示，则客车的运输年数为（）时该客车的年平均利润最大。 （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 x年 4 6 8 … （万元） 7 11 7 … 题型3：分段函数型 例3．某集团公司在2000年斥巨资分三期兴建垃圾资源化处理工厂，如下表： ? 一期2000年投入 1亿元 兴建垃圾堆肥厂 年处理有机肥十多万吨 年综合收益 2千万元 二期2002年投入 4亿元 兴建垃圾焚烧发电一厂 年发电量1.3亿kw/h 年综合收益 4千万元 三期2004年投入 2亿元 兴建垃圾焚烧发电二厂 年发电量1.3亿kw/h 年综合收益 4千万元 ? 如果每期的投次从第二年开始见效，且不考虑存贷款利息，设2000年以后的x年的总收益为f(x)（单位：千万元），试求f（x）的表达式，并预测到哪一年能收回全部投资款。 题型4：三角函数型 例4．某港口水的深度y(m)是时间t（0≤t≤24，单位：h）的函数，记作y=f(t)。下面是某日水深的数据： ? t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/m 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 ? 经长期观察，y=f(t)的曲线可以近似地看成函数y=Asinωt+b的图象。（1）试根据以上数据求出函数y=f(t)的近似表达式；（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5m或5m以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）。某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5m，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它最多能在港内停留多少时间（忽进出港所需的时间）？ 题型5：不等式型 例5．（2006湖南理20）对1个单位质量的含污物体进行清洗, 清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为: 为, 要求清洗完后的清洁度为. 有两种方案可供选择, 方案甲: 一次清洗; 方案乙: 分两次清洗. 该物体初次清洗后受残留水等因素影响, 其质量变为. 设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是, 用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是, 其中是该物体初次清洗后的清洁度.。 (Ⅰ)分别求出方案甲以及时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少; (Ⅱ)若采用方案乙, 当为某固定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量, 使总用水量最小? 并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响. 题型6：指数、对数型函数 例6．有一个湖泊受污染，其湖水的容量为V立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量。现假设下雨和蒸发平衡，且污染物和湖水均匀混合。 用，表示某一时刻一立方米湖水中所含污染物的克数（我们称其湖水污染质量分数），表示湖水污染初始质量分数。 （1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染初始质量分数； （2）分析时，湖水的污染程度如何。 三．思维总结 1．将实际问题转