邱皓政2007统计原理与分析技术03__相对量数与标准分数.ppt

讓數字會說話三F 相對量數與標準分數 Relative Measures and Standard Scores 某日，統計老師發期中考卷，甲生拿到考卷後，看得成績是80分，喜出望外，心想這一次總算要揚眉吐氣了，但是，只見老師在黑板上寫下本次期中考全班平均成績是90分，標準差5分。這下子，甲生還能高興的起來嗎？ 相對量數 數據的解讀： 絕對意義：由數值大小反應 相對意義：需從相對比較，甚至於進行變項數據的標準化，才能對於數據的意義進行正確解讀。 相對量數或相對地位量數（measures of relative position） 描述個別觀察值在團體中所在相對位置的統計量 將某特定觀察值在樣本中所處的位置，以其他分數進行參照，計算出觀察值在該變項上分數的團體地位（位置） 常用的相對量數包括百分等級,百分位數,標準分數 百分等級與百分位數 百分等級（percentile rank; PR） 係指觀察值在變項上的分數在團體中所在的等級 在一百個人中，該分數可以排在第幾個等級。 例如PR＝50代表某一個分數在團體中可以勝過50％的人，他的分數也恰好是中位數。 百分位數（percentile point; Pp） 係指在樣本中位居某一個等級的觀察值之分數 若想在一百個人的樣本中贏過多少百分之多少的人，則他的分數必須得到多少分 例如中位數為60分時，表示有50％的人比60分還低，此時我們可以說第50百分位數為60分，以P50=60表示之。 兩者的數學關係 百分等級是將原始分數轉化為等級（百分比） 百分位數則是由某一等級來推算原始分數 百分等級與百分位數的計算 樣本數少時 將資料依序排列，算出累積百分比，即可對應出每一分數的百分等級 亦可從百分等級推算出各特定百分位數 樣本數大時 百分等級的計算必須以分組資料的方式來整理資料 百分等級的換算，必須以公式來計算之 有了電腦之後，一切就交給電腦來排順序囉！ 標準分數 標準分數（standard scores） 利用線性轉換的原理，將一組數據轉換成不具有實質的單位與集中性的標準化分數。 不同的標準分數，其共通點是利用一個線性方程式y=bx+a進行集中點的平移與重新單位化，使得不同量尺與不同變項的測量數據具有相同的單位與相同的集中點，因此得以相互比較。 常用的標準分數 Z分數 T分數(T=10Z+50) SAT考試（Scholastic Assessment Test）（SAT=100Z+500） 比西測驗IQ分數（平均數為100，標準差為16的標準分數）（IQ=16Z+100), 魏氏智力測驗為15Z+100 Z分數 定義 指原始分數減去其平均數，再除以標準差後所得到的新分數 表示該原始分數是落在平均數以上或以下幾個標準差的位置上 Z分數的特性 任何一組數據經過Z公式轉換後，均具有平均數為0，標準差為1的特性 Z分數可以作分配內與跨分配的比較。 當Z分數小於0時，表示該觀察值落在平均數以下 當Z分數大於0，表示該觀察值落在平均數以上；數值越大，表示距離平均數越遠，若觀察值恰等於平均數，則Z分數為0。 Z分數僅是將原始分數進行線性轉換，並未改變各分數的相對關係與距離，因此Z分數轉換並不會改變分配的形狀。 常態分配 常態分配（normal distribution） 指一個隨機變項的觀察值，呈現對稱的鐘形曲線分配 由德國數學家Gauss（Karl F. Gauss；1777-1855）所提出，因此又稱為高斯分配（Gaussian distribution）。 常態分配的特性 常態曲線並沒有兩端點極限值 當x=μ時，函數值f(x)達到最高點 當x趨近無限大時，函數值f(x)則趨近為0 機率分配 常態曲線內的機率變化呈現數學規則 分配內絕大多數的機率（99.7%）落於正負3個標準差之內 一般來說，常態化的分配全距約為6個標準差 轉折點（inflection points） 距離平均數負一個標準差位置上，切線斜率由漸增轉為漸減 在距離平均數正一個標準差位置上，切線斜率由漸減轉為漸增 標準化常態分配與其應用 標準化常態分配（standard normal distribution） 某一變項的觀察值呈現常態分配，經轉換後的Z分數所形成的分配稱之 常態分配的變數X已經不是原始分數，而是Z分數 Z分數是距離平均數幾個標準差的量數，不同的Z值，即代表距離平均值多少個標準差，透過機率對照表，可以很快的查出Z值與機率間的關係 在常態分配中 68.26%的觀察值落在Z值±1個標準差）的區間內 95.44%的觀察值會落在Z值±2個標準差的區間內 99.74％的觀察值會落在Z=±3個標準差的區間內 T分數 定義 將Z分數以下列線性轉換公式轉換成平均數50，標準差10的T