数学与应用数学专业-课程教学大纲.doc

课程教学大纲（第二版） 惠州学院数学系 2009年10月 目 录 《高等代数》教学大纲 2 《数学分析》课程教学大纲 8 《解析几何》课程教学大纲 12 《近世代数》课程教学大纲 15 《常微分方程》课程教学大纲 18 《复变函数》课程教学大纲 22 《组合数学》课程教学大纲 26 《初等数论》课程教学大纲 29 《实变函数》课程教学大纲 32 《竞赛数学》课程教学大纲 35 《数学教育学》课程教学大纲 37 《高等几何》课程教学大纲 40 《数学分析选讲》课程教学大纲 48 《高等代数选讲》课程教学大纲 51 《数学建模》课程教学大纲 57 《泛函分析》课程教学大纲 64 《拓扑学》课程教学大纲 67 《高等代数》教学大纲 HIGHER ALGEBRA （2009年10月修订，李桂贞执笔） 课程的适用专业、学时及学分 本课程的适用专业为：数学与应用数学专业，192学时，11学分。 二、课程的性质、目的和任务 《高等代数》是高等学校数学专业的一门必修的专业基础课程。通过学习本课程，使学生掌握一元多项式及线性代数的基本知识和基础理论，熟悉和掌握抽象的、严格的代数方法，理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系，提高抽象思维、逻辑推理及运算能力。 三、与其它课程的联系 《高等代数》是数学专业必修的代数类基础课，是中学代数的继续和提高，是后续的专业课如常微分方程、近世代数、泛函分析等课程的先修课。 四、课程的基本内容、重点及难点 （一）基本概念 本章主要介绍了集合、映射、数环、数域等基本概念，这些概念是学习本课程及其它数学分支的基础知识。 1、集合 子集 集的相等 集合的交与并及其运算律 笛卡儿积 2、映射 映射 满射 单射 双射 映射的相等 映射的合成 可逆映射 映射可逆的充要条件 3、数学归纳法 自然数的最小数原理 第一数学归纳法 第二数学归纳法 、整数的一些整除性质 5、数环和数域 重点及难点：映射 可逆映射 数域。 （二）多项式 本章主要介绍数域上一元多项式的概念及其运算、整除性、因式分解和有理系数多项式有理根的求法，简单介绍了多元多项式及对称多项式。多项式理论是高等代数的重要内容，是中学数学有关知识的加深和扩充，是学习其它数学分支的必要基础。 1、一元多项式的定义和运算 2、多项式的整除性 整除的基本性质 带余除法定理 3、多项式的最大公因式 最大公因式概念、性质 辗转相除法 多项式互素概念、性质 4、多项式的唯一因式分解定理 不可约多项式概念 唯一因式分解定理 典型分解式 5、多项式的重因式 多项式的重因式概念 多项式有重因式的充要条件 6、多项式函数与多项式的根 多项式函数的概念 余式定理 综合除法 多项式的根的概念 根与一次因式的关系 多项式根的个数 7、复数域和实数域上多项式的因式分解（代数基本定理不证明） 8、有理数域上多项式的可约性及有理根 本原多项式的定义 Gauss引理 整系数多项式在有理数域上的可约性问题 Eisenstein判别法 有理数域上多顶式的有理根 9、多元多项式 多元多项式的概念 字典排列法 多元多项式的和与积的次数 10、对称多项式 对称多项式的概念 初等对称多项式 对称多项式基本定理 重点及难点：整除，最大公因式，互素，唯一分解定理，代数基本定理，Eisenstein判别法。 （三）行列式 行列式是线性方程组理论的一个重要组成部分，是中学数学有关内容的提高和推广，也是一种重要的数学工具。 1、二阶和三阶行列式的结构 2、排列 排列的概念 反序数及排列的奇偶性 对换及其对排列奇偶性的影响 3、n阶行列式的定义和性质 4、行列式依行依列展开 余子式与代数余子式的概念 行列式依行依列展开 Vandermonde行列式 5、Cramer规则 6、Laplace定理 重点及难点：n阶行列式的计算，Vandermonde行列式的计算及应用。 （四）线性方程组 本章在理论上解决了线性方程组有解的判定，解的个数及求法，对中学数学有直接的指导意义。此外，它在本课程及数学的其它分支、生产实践及其它学科都有广泛应用。 1、线线方程组的消元法 线性方程组的初等变换 方程组的一般解和自由未知量 系数矩阵和增广矩阵 2、矩阵的秩 k阶子式 矩阵秩的定义 初等变换不改变矩阵的秩 用初等变换求矩阵的秩 3、线性方程组有解的判别法 线性方程组有解判别定理及解的个数定理 4、线性方程组的公式解 线性方程组的公式解 齐次线性方程组及其非零解的概念 齐次线性方程组有非零解的充要条件 、结式和判别式 结式判别式二元高次方程组的解法 重点及难点：矩阵的秩的概念及求法 线性方程组有解的判别及求解 （五）矩阵 矩阵是线性代数的一个主要研究对象，它是数学及其它学科的一个重要工具。本章主要介绍矩阵的运算及其基本