圆锥曲线轨迹问题苏教版2.docVIP

建设现代化(检验) ——有关圆锥曲线轨迹问题 根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。 轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。 求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验） 建（坐标系）设（动点坐标）现（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”） 求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。 1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法； 例1、已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程为，动点M到圆C的切线长与的比等于常数，求动点M的轨迹。 【解析】。设,则 化简得 当时，方程为，表示一条直线。 当时，方程化为表示一个圆。 ◎◎如图，圆与圆的半径都是1，. 过动点分别作圆、圆的切线（分别为切点），使得. 试建立适当的坐标系，并求动点的轨迹方程. 【解析】的中点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 ，. 由已知，得. 因为两圆半径均为1，所以 . 设，则 ， 即.(或) 评析： 1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。 2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。 例2、已知动圆过定点，且与直线相切，其中. 求动圆圆心的轨迹的方程； 【解析】为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为； ◎◎ 已知圆O的方程为 x2+y2=100,点A的坐标为（-6，0），M为圆O上任一点，AM的垂直平分线交OM于点P，求点P的方程。 【解析】故，即P点的轨迹为以A、O为焦点的椭圆，中心为（-3，0）， 故P点的方程为 ◎◎已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程. 【解析】 以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系， 可求得动点P的轨迹方程为： 评析：定义法的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件。 P(x,y)却随另一动点Q(x’，y’)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x’,y’表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。 几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。 例3、如图，从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N。求线段QN的中点P的轨迹方程。 【解析】x,y）,点Q的坐标为（x1,y1） 则N（ 2x-x1,2y-y1）代入x+y=2,得2x-x1+2y-y1=2① 又PQ垂直于直线x+y=2，故，即x-y+y1-x1=0② 由①②解方程组得, 代入双曲线方程即可得P点的轨迹方程是2x2-2y2-2x+2y-1=0 ◎◎已知椭圆的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足 求点T的轨迹C的方程； 【解析】 T的坐标为 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上. 当|时，由，得. 又，所以T为线段F2Q的中点. 设点Q的坐标为（），则 因此 ① 由得 ② 将①代入②，可得 综上所述，点T的轨迹C的方程是 解法二：（几何法） 设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上. 当|时，由，得. 又，所以T为线段F2Q的中点. 在△QF1F2中，，所以有 综上所述，点T的轨迹C的方程是 评析：一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法。 x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数