经济应用数学 矩阵的秩.ppt

* 9.5 矩阵的秩 r行 行变换 列互换 任何矩阵， r表示利用消元法可以把线性方程组化简为r个方程， r值是唯一确定的吗，会随着消元法的过程不同而不同吗? K阶子式 在 定义 矩阵中，任取k行k列（k≤m，k≤n 位于这些行列交叉处的元素按原来位置构成的k阶行列式， 称为一个k阶子式. 1 1 ?2 1 4 2 ?1 ?1 1 2 2 ?3 1 ?1 2 3 6 ?9 7 9 A? ? 例如 1 1 ?2 1 4 2 ?1 ?1 1 2 2 ?3 1 ?1 2 3 6 ?9 7 9 A? ? D? 是A的一个二阶子式? m行n列矩阵的k阶子式有几个呢? 9.5 矩阵的秩 矩阵的秩 一个矩阵A中不为零的子式的最大阶数，称为矩阵的秩. 记为：秩(A) 例如 秩为r 阶梯形矩阵 所有4阶子式都为零，故秩为3. 阶梯形矩阵的秩，即为不全为零行的行数. 一般矩阵的秩，如果根据定义计算，工作量将很大，那该如何计算它的秩呢? 定理： 该定理有什么用呢? 这说明了，要计算一般矩阵的秩，只要通过初等变换化为阶梯形矩阵，此时阶梯形矩阵不全为零行的行数即为原矩阵的秩. 例:求下面矩阵的秩 解: 注意，矩阵前后变换必须用箭头－，而不能用等号=. 阶梯形矩阵 定义 设 矩阵 的前r（r≤n）行均全不为零，其余行全为零. A的第r行第1个非零元素为 ，若满足 则称A为阶梯形矩阵，并称 为阶梯头。 每个台阶的高度都是1，也即从上往下每行第一个非零元素的位置必须向右边至少缩进一个位置 例如 阶梯头 它是阶梯形矩阵吗 约化阶梯形矩阵 定义 若阶梯形矩阵A的每个阶梯头都为1，且阶梯头所在的列其他元素都为零，则称为约化阶梯型矩阵，或称为行最简形。 例如 例，求下面矩阵的秩 - - - - - - 9 7 9 6 3 4 2 2 6 4 4 1 2 1 1 2 1 1 1 2 A＝ 解: A R12 1 1 ?2 1 4 2 ?1 ?1 1 2 R3 2 ?3 1 ?1 2 3 6 ?9 7 9 1 1 ?2 1 4 0 2 ?2 2 0 0 ?5 5 ?3 ?6 0 3 ?3 4 ?3 R2?R3 R3?2R1 R4?3R1 1 1 ?2 1 4 0 1 ?1 1 0 0 0 0 2 ?6 0 0 0 1 ?3 1/2R2 R3?5R2 R4?3R2 R34 1 1 ?2 1 4 0 1 ?1 1 0 0 0 0 2 ?6 R4?2R3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ?3 阶梯形矩阵