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* * 第12章 非正弦周期电流电路 2. 非正弦周期函数的有效值和平均功率 重点 3. 非正弦周期电流电路的计算 1. 周期函数分解为付里叶级数 12.1 非正弦周期信号 生产实际中不完全是正弦电路，经常会遇到非正弦周期电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。 O t i T 脉冲波形 方波电压 O t u T O t u T 2T 锯齿波 12.1 非正弦周期信号 生产实际中不完全是正弦电路，经常会遇到非正弦周期电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。 O t i T 脉冲波形 方波电压 O t u T O t u T 2T 锯齿波 非正弦周期交流信号的特点 (1) 不是正弦波 (2) 按周期规律变化 非正弦 周期量 (激励) 不同频率 正弦量的和 各个正弦量 单独作用下 的响应分量 非正弦 稳态量 (响应) Fourier 正弦稳态分析 叠加定理 ？ 非正弦周期电路的分析方法----------谐波分析法 谐波分析法示意图 谐波分析法的实质是把非正弦周期电流电路的计算化为一系列正弦电流电路的计算。 12.2 周期函数分解为付里叶级数 展开成付里叶级数： 其中各个系数按下式求解： 证明 三角函数具有如下特殊性质: （1）正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。 （2）sin2、cos2 在一个周期内的积分为?。 （3） 三角函数的正交性 返回 12.2 周期函数分解为付里叶级数 展开成付里叶级数： 其中各个系数按下式求解： 12.2 周期函数分解为付里叶级数 展开成付里叶级数： 工程上经常作如下变形： 两种形式系数之间的关系为: 利用函数的对称性可使系数的确定简化 （1）偶函数 －T/2 t T/2 f(t) －T/2 t T/2 f(t) （2）奇函数 （3）奇谐波函数 t f (t) T/2 T t T/2 T 周期性方波信号的分解 例1 解 图示矩形波电流在一个周期内的表达式为： 直流分量： 谐波分量： K为偶数 K为奇数 （K为奇数） 的展开式为： 三次谐波 基波 t t t 周期性方波波形分解 直流分量 t t 谐波合成示意图 等效电源 IS0 等效电源示意图 等效 IS0 t T/2 T t T/2 T 频谱图 Akm 0 幅度频谱图 例2. 求图示周期性矩形信号f(t)的傅里叶级数展开式及其频谱。 O f (t) T T/2 t Em - Em f(t)在第一个周期内的表达式为 解： f (t)=Em 0≤t ≤(T/2) f (t)=－Em (T/2)≤t ≤T 则 因此可得 给定函数 f(t)的部分波形如图所示。为使f(t) 的傅立叶级数中只包含如下的分量： t T/4 O f(t) (1) 正弦分量； (2) 余弦分量； (3) 正弦偶次分量； (4) 余弦奇次分量。 试画出 f(t) 的波形。 t T/4 O f(t) T/2 ? T/4 ? T/2 (1) 正弦分量； 例2 解 (2) 余弦分量； t T/4 O f(t) T/2 ? T/4 ? T/2 (3) 正弦偶次分量； (4) 余弦奇次分量。 t T/4 O f(t) T/2 ? T/4 ? T/2 t T/4 O f(t) T/2 ? T/4 ? T/2 1. 非正弦周期函数的有效值 若: 则: 12.3 有效值、平均值、和平均功率 三角函数正交性 则其平均值为： 若 2. 非正弦周期函数的平均值 12.3 有效值、平均值、和平均功率 利用三角函数的正交性，得： 3. 非正弦周期电流电路的平均功率 12.3 有效值、平均值、和平均功率 等效 I0 t T/2 T 12.4 非正弦周期交流电路的计算 L C R iS I0 L C R 等效 12.4 非正弦周期交流电路的计算 1. 计算步骤 （2） 利用正弦交流电路的计算方法，对各谐波信号 分别应用相量法计算； （注意:交流各谐波的 XL、XC不同，对直流C 相当于 开路、L相于短路。） （1） 利用付里叶级数，将非正弦周期函数展开 成若干种频率的谐波信号； （3） 将以上计算结果转换为瞬时值迭加。 2. 计算举例 例1 求u, 已知： t T/2 T L C R iS 解 （1）已知方波信号的展开式为： *