数学专题38导数及其应用.doc

高中数学高考复习 专题三十八　　 导数及其应用 　　 一、知识网络 　　二、高考考点　　1、导数定义的认知与应用；　　2、求导公式与运算法则的运用；　　3、导数的几何意义；　　4、导数在研究函数单调性上的应用；　　5、导数在寻求函数的极值或最值的应用；　　6、导数在解决实际问题中的应用。　　三、知识要点　　（一）导数　　1、导数的概念　　（1）导数的定义　　（）设函数 在点 及其附近有定义，当自变量x在 处有增量△x（△x可正可负），则函数y相应地有增量 ，这两个增量的比 ，叫做函数 在点 到 这间的平均变化率。如果 时， 有极限，则说函数 在点 处可导，并把这个极限叫做 在点 处的导数（或变化率），记作 ，即 。　　（）如果函数 在开区间（ ）内每一点都可导，则说 在开区间（ ）内可导，此时，对于开区间（ ）内每一个确定的值 ，都对应着一个确定的导数 ，这样在开区间（ ）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做 在开区间（ ）内的导函数（简称导数），记作 或 ， 即 。　　认知：　　（）函数 的导数 是以x为自变量的函数，而函数 在点 处的导数 是一个数值； 在点 处的导数 是 的导函数 当 时的函数值。　　（）求函数 在点 处的导数的三部曲：　　求函数的增量 ；　　求平均变化率 ；　　求极限 　　上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。　　（2）导数的几何意义：　　函数 在点 处的导数 ，是曲线 在点 处的切线的斜率。　　（3）函数的可导与连续的关系　　函数的可导与连续既有联系又有区别：　　（）若函数 在点 处可导，则 在点 处连续；　　若函数 在开区间（ ）内可导，则 在开区间（ ）内连续（可导一定连续）。　　事实上，若函数 在点 处可导，则有 此时， 　　 　　 　　 　　 　　记 ,则有 即 在点 处连续。　　（）若函数 在点 处连续，但 在点 处不一定可导（连续不一定可导）。　　反例： 在点 处连续，但在点 处无导数。　　事实上， 在点 处的增量 　　当 时，　　　　　　　　 ，　　　　　　 ；　　当 时，　　　　　　　　 ，　　　　　　 　　由此可知， 不存在，故 在点 处不可导。　　2、求导公式与求导运算法则　　（1）基本函数的导数（求导公式）　　公式1　　 常数的导数： （c为常数），即常数的导数等于0。　　公式2　　 幂函数的导数： 。　　公式3　　 正弦函数的导数： 。　　公式4　　 余弦函数的导数： 　　公式5　　 对数函数的导数：　　（） ；　　（） 　　公式6　　 指数函数的导数：　　（） ；　　（） 。　　（2）可导函数四则运算的求导法则　　设 为可导函数，则有　　法则1　　 ；　　法则2　　 ；　　法则3　　 。　　3、复合函数的导数　　（1）复合函数的求导法则　　设 ， 复合成以x为自变量的函数 ，则复合函数 对自变量x的导数 ，等于已知函数对中间变量 的导数 ，乘以中间变量u对自变量x的导数 ，　　即 。　　引申：设 ， 复合成函数 ， 则有 　　（2）认知　　（）认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的顺序，即从外向内分析：首先由最外层的主体函数结构设出 ，由第一层中间变量 的函数结构设出 ，由第二层中间变量 的函数结构设出 ，由此一层一层分析，一直到最里层的中间变量 为自变量x的简单函数 为止。于是所给函数便“分解”为若干相互联系的简单函数的链条：　　 ；　　（）运用上述法则求复合函数导数的解题思路　　分解：分析所给函数的复合关系，适当选定中间变量，将所给函数“分解”为相互联系的若干简单函数；　　求导：明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后，运用上述求导法则和基本公式求；　　还原：将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函数，并作以适当化简或整理。　　二、导数的应用　　1、函数的单调性　　（1）导数的符号与函数的单调性：　　一般地，设函数 在某个区间内可导，则若 为增函数；若 为减函数；若在某个区间内恒有 ，则在这一区间上为常函数。　　（2）利用导数求函数单调性的步骤　　（）确定函数 的定义域；　　（）求导数 ；　　（）令 ，解出相应的x的范围　　当 时， 在相应区间上为增函数；当 时 在相应区间上为减函数。　　（3）强调与认知　　（）利用导数讨论函数的单调区间，首先要确定函数的定义域D，并且解决问题的过程中始终立足于定义域D。若由不等式 确定的x的取值集合为A，由 确定的x的取值范围为B，则应用 ；　　（）在某一区间内 （或 ）是函数 在这一区间上为