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高二数学选修2-3数学教案5 组合(一) 教学过程： 一、 【问题从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 问题从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？ 引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的引出课题：组合二、组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同2．组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示． 3．组合数公式的推导： （1）从4个不同元素中取出3个元素的组合数是多少呢？ 启发：由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数可以求得，故我们可以考察一下和的关系，如下： 组 合 排列 由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有种方法．由分步计数原理得：＝，所以，． （2）推广：一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分如下两步：① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数；② 求每一个组合中m个元素全排列数，根据分步计数原理得：＝． （3）组合数的公式： 或 三、例1计算：（1）； （2）； （1）解： ＝35； （2）解法1：＝120． 解法2：＝120． 例求证：． 证明：∵ ＝＝ ∴ 【例设 求的值 解：由题意可得： ，解得， ∵， ∴或或， 当时原式值为7；当时原式值为7；当时原式值为11． ∴所求值为4或7或11． 例（1）6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？ 解：． （2）从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议，要求至少有2名男生和1名女生参加，有多少种选法？ 解：问题可以分成2类： 第一类 2名男生和2名女生参加，有中选法； 第二类 3名男生和1名女生参加，有中选法 依据分类计数原理，共有100种选法 错解：种选法引导学生用直接法检验，可知重复的很多 例4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？ 解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有，，， 所以，一共有++＝100种方法． 解法二：（间接法） 四、判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题： （1）从4个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？ （2）从4个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？ 2．名同学进行乒乓球擂台赛，决出新的擂主，则共需进行的比赛场数为（ ） ． ． ． ． 3．如果把两条异面直线看作“一对”，则在五棱锥的棱所在的直线中，异面直线有（ ） ．对 ．对 ．对 ．对 4．设全集，集合、是的子集，若有个元素，有个元素，且，求集合、，则本题的解的个数为 （ ） ． ． ． ． 5．从位候选人中选出人分别担任班长和团支部书记，有 种不同的选法 6．从位同学中选出人去参加座谈会，有 种不同的选法 7．圆上有10个点： （1）过每2个点画一条弦，一共可画 条弦； （2）过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画 个圆内接三角形 8．（1）凸五边形有 条对角线；（2）凸五边形有 条对角线 9．计算：（1）；（2）． 10．个足球队进行单循环比赛，（1）共需比赛多少场？（2）若各队的得分互不相同，则冠、亚军的可能情况共有多少种？ 11．空间有10个点，其中任何4点不共面，（1）过每3个点作一个平面，一共可作多少个平面？（2）以每4个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体？ 12．壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成多少种币值？ 13．写出从这个元素中每次取出个的所有不同的组合 答案：1. （1）组合, （2）排列 2. B 3. A 4. D 5. 30 6. 15 7. （1）45 （2） 120 8. （1）5（2） 9. ⑴455； ⑵ 10. ⑴10； ⑵20 11. ⑴； ⑵ 12. 13. ； ； ；