经济应用数学 初等变换.ppt

例 * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 9.4 矩阵的初等变换 与初等矩阵 * 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵， 三种初等变换对应着三种初等方阵. 初等矩阵的概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义： 称为初等矩阵. * 1 1 0 0 互换 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如 初等矩阵 初等矩阵 初等矩阵 * 乘上数字k k 初等矩阵 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如, 初等矩阵 初等矩阵 初等矩阵 两次初等变换才可以得到 * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如 初等矩阵 初等矩阵 初等矩阵吗 2 * 初等矩阵可逆吗 初等矩阵是由单位矩阵通过一次初等变换得到的，行列式一定不等于零，因而可逆，并且有结论: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 初等矩阵与初等变换之间的关系 定理 设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵. 例如 相当于 对应 把“ → ” 变成”=”了 左乘 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 例如 相当于 对应 把“ → ” 变成”=”了 右乘 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 例 解 不必直接作矩阵乘法，由于P1,P2都是初等矩阵, 相当于进行一次行变换. 所以左乘P1,就相当于把A 的第 2 行加到第 3 行， 即有 因为P1是由单位矩阵的第2行加到第3行得到的, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 相当于 是由单位矩阵第 1 列与第 3列进行互换得到， 所以右乘P2,相当于进行一次第1列与第3列互换得到, 从而得 对P1A进行一次列变换, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 可以验证 A 可逆 * A是可逆矩阵 定理 当矩阵A可逆时 证明: 左乘初等矩阵,相当于进行初等行变换,因而仅仅左乘一些初等矩阵能够化为单位矩阵,就相当于可仅仅通过行变换化为单位矩阵. 可得仅仅通过列变换化为单位矩阵. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 定理9.7 重要 当矩阵A可逆时 用A-1右乘上式两端,得 如果A经过一系列初等行变换化为E， 则E经过同样的初等行变换化为A–1. 由此可得到一种有效的求逆矩阵的方法: 比较以上两式可见: 其中, 和 表示n?2n阶矩阵 初等行变换法求逆矩阵 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 当矩阵A可逆时 用A-1左乘上式两端,得 如果A经过一系列初等列变换化为E， 则E经过同样的初等列变换化为A–1. 由此可得到另一种有效的求逆矩阵的方法: 比较以上两式可见: 其中, 和 表示2n?n阶矩阵 初等列变换法求逆矩阵 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 解 例 行变换 E 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * E 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 即 初等行变换 对于矩阵方程AX=B,若A可逆,前面我们通常是分成两步走,先求出A-1,然后再求X=A-1B,得到解.其实还可以用初等行变换直接求出解. 如果A经过一系列初等行变换化为E， 则B 经过同样的初等行变换化为A–1B. 由此可得到一种有效的求矩阵方程的方法: 比较以上两式可见: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 例 解 行变换 E 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * *