自考高等数学一微积分小抄笔记小抄习题解析自考习题笔记.docVIP

第一章　函数及其图形 第二章　极限和连续 第三章　一元函数的导数和微分 第四章　微分中值定理和导数的应用 第五章　一元函数积分学 第六章　多元函数微积分 前　言《高等数学一》共6章。 第一章　函数 1.主要是对高中知识的复习； 2.对今后知识打下良好的基础； 3.本章知识在历年考题中所占的分值并不多，一般是4至5分。 第二章　极限和连续 本章内容在历年考题中所占分值为10%左右。 第三章　一元函数的导数和微分 主要是如何求函数的导数和微分 本章内容在历年考题中所占分值为10%左右。 第四章　微分中值定理和导数应用 本章在历年考题中所占分值为15%左右。 第五章　一元函数积分学 包括函数的不定积分和一元函数定积分。 本章内容在历年考题中所占分值为25%左右。 第六章　多元函数微积分 本章内容在历年考试题中所占比例为15%左右。 第一章　函数及其图形1.1　预备知识 一、基本概念 1.集合 具有某种特定性质的事物的总体。 组成这个集合的事物称为该集合的元素。 2.包含关系 集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，称为A包含于B，或B包含A。 若XA，则必xB，就说A是B的子集，记作AB 数集分类： N----自然数集Z----整数集 Q----有理数集R----实数集 数集间的关系：NZ,ZQ,QR. 3.相等关系 若AB，且BA，就称集合A与B相等。记作（A＝B） 例1　则A＝C. 4.空集 不含任何元素的集合称为空集（记作）。规定空集为任何集合的子集。 例2　 5.集合之间的运算 1 并：由 中所有元素组成的集合称为A和B的并集，记为AB 例3 例4 2）交：由既属于A又属于B的元素组成的集合称为A和B的交集，记为AB 例5 例6 3）差：由A中不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集，记为A-B 例7 二、绝对值 1.绝对值的定义： 2.绝对值的性质： （1），当且仅当a＝0时， （2）（3）（4） 3.绝对值的几何意义： （1）表示数轴上的点x与原点之间的距离为a。 （2）表示数轴上的两点x与y之间的距离为a。 4.绝对值不等式： k 0时，则有 k 0时，则有 例8　，求x的值。 答案：x ±5 5.绝对值的运算性质： 例9　化去下列各式绝对值的符号： （1） （2） （3） （4） 例10　解下列含有绝对值符号的不等式： （1） （2） （3） 三、区间 是指介于某两个实数之间的全体实数，这两个实数叫做区间的端点。 以上区间都叫有限区间 这两种形式的区间叫无限区间 区间长度的定义： 两端点间的距离 线段的长度 称为区间的长度. 四、邻域 设a与是两个实数，且 0，数集称为点a的邻域，记作U a 。 点a叫做这个邻域的中心，叫做这个邻域的半径。 点a的去心邻域，记作。 区间与邻域的关系： 例11　解不等式并用区间表示不等式的解集： （1） （2） 1.2　函数 一、函数的概念 1.定义 设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，如果对于每个x∈D，变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作 数集D叫做这个函数的定义域，当时，称为函数在点处的函数值。 函数值全体组成的数集 称为函数的值域。 2.函数的两要素：定义域与对应法则。 约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值。 例1、　 例2、　 例3、判断下列两个函数是否相等 例4、求函数的定义域 例5、符号函数 3.分段函数 在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的式子来表示的函数，称为分段函数。 例6、 例7、求下面分段函数定义域并画出图形。 例8、将下面函数化为分段函数 二、函数的表示法 1.图象法 2.表格法 3.解析法 1.3　函数的特性 一、函数的有界性 若有成立，则称函数f（x）在X上有界，否则称无界。 例9、判断下面函数在其定义域是否有界 （1）符号函数y＝sgnx （2）y＝x2 2.函数的单调性： 设函数f（x）的定义域为D，区间I∈D， 如果对于区间I上任意两点及当时， 恒有则称函数f（x）在区间I上是单调增加的； 设函数f（x）的定义域为D，区间I∈D,如果对于区间I上任意两点及，当时，恒有则称函数f（x）在区间I上是单调减少的。 例10、求y＝x2的单调性 例11、求y＝sinx的单调性 3.函数的奇偶性： 设D关于原点对称，对于，有称f（x）为偶函数； 设D关于原点对称，对于，有f（-x） -f（x）称f（x）为奇函数。 4.函数的周期性： 设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个不为零的数l,使得对于任一则称f（x）为周期函数，l称为f（x）的周期，且恒成立（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）。 例12、判断下列函数是否有界 （1） （2）y＝cosx 例13、判断下面函数的奇偶性 （1） （2）