2012年考研数学二真题+解析.docVIP

2012年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题解析 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.渐近线的条数为（） （A）0 （），所以为垂直渐近线 ，所以为水平渐近线，没有斜渐近线，总共两条渐近线，选（C）。 （2）设函数，其中为正整数，则 （A） （） （D） 【答案】：（C） 【解析】： 所以，故选（C）。 （3）设，，则数列有界是数列收敛的 (A)充分必要条件. (B)充分非必要条件. （C）必要非充分条件. （D）即非充分地非必要条件. 【答案】：(B) 【解析】：由于，是单调递增的，可知当数列有界时，收敛，也即是存在的，此时有，也即收敛。 反之，收敛，却不一定有界，例如令，显然有收敛，但是无界的。故数列有界是数列收敛的充分非必要条件，选(B)。 （4）设 (k=1,2,3),则有D （A） (B) (C) (D) 【答案】：(D) 【解析】：由于当时，可知，也即，可知。 又由于，对做变量代换得， 故由于当时，可知，也即，可知。 综上所述有，故选(D). （5）设函数可微，且对任意 都 有，，则使得成立的一个充分条件是 (A) (B) (C) (D) 【答案】：(D) 【解析】：，表示函数关于变量是单调递增的，关于变量是单调递减的。因此，当时，必有，故选D （6）设区域D由曲线围成，则 【答案】：（D） 【解析】：区域D如图中阴影部分所示，为了便于讨论，再引入曲线将区域分为四部分。由于关于轴对称，可知在上关于的奇函数积分为零，故；又由于关于轴对称，可知在上关于的奇函数为零，故。 因此，故选（D）。 （7）设其中为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ） （A） （） （D） 【答案】：（C） 【解析】：由于，可知线性相关。故选（C）。 （8）设为3阶矩阵，为3阶可逆矩阵，且，，则（ ） （A） （） （D） 【答案】：（），则， 故 故选（）二、填空题：9(14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.是由方程所确定的隐函数，则________。 【答案】： 【解析】：将代入原方程可得 方程两端对求导，有，将、代入可得，所以 再次求导得，再将、、代入可得。 （10）计算________。 【答案】： 【解析】：原式 （11）设,其中函数可微，则________。 【答案】：. 【解析】：因为，所以 （12）微分方程满足初始条件的解为________。 【答案】： 【解析】：为一阶线性微分方程，所以 又因为时，解得，故. （13）曲线上曲率为的点的坐标是________。 【答案】： 【解析】：将代入曲率计算公式，有 整理有，解得，又，所以，这时， 故该点坐标为 （14）设为3阶矩阵，,为的伴随矩阵，若交换的第一行与第二行得到矩阵,则________。 【答案】： 【解析】：，其中，可知。 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.10分） 已知函数，记 （1）求的值 （2）若当时，是的同阶无穷小，求 【解析】：（1），即 （2）,当时，由 又因为，当时，与等价，故，即 （16）（16）（本题满分10分） 求的极值。 【解析】：， 先求函数的驻点：令 ， 解得驻点为.又 对点，有 所以，，故在点处取得极大值. 对点，有 所以，，故在点处取得极小值. （17）（本题满分11分） 过点（0，1）点作曲线的切线，切点为，又与轴交于点，区域由与直线及轴围成，求区域的面积及绕轴旋转一周所得旋转体的体积。 【解析】： 如图设切点坐标为，斜率为，所以设切线方程为，又因为该切线过，所以，故切线方程为： 切线与轴交点为 （1） （2） （18）（本题满分10分） 计算二重积分，其中区域D为曲线与极轴围成。 【解析】： 令得，原式。 （19）（本题满分10分）已知函数满足方程及 1）求表达式 2）求曲线的拐点 【解析】： 1）特征方程为，特征根为，齐次微分方程的通解为.再由得，可知。 故 2）曲线方程为，则， 令得。为了说明是唯一的解，我们来讨论在和时的符号。 当时，，可知；当时，，可知。可知是唯一的解。 同时，由上述讨论可知曲线在左右两边的凹凸性相反，可知点是曲线唯一的拐点。 （20）（本题满分10分） 证