从问题研究到问题提出的思考.docVIP

从问题研究到问题提出上海市建平中学 虞涛 提出问题不仅有利于促进学生对数学知识的理解，提高他们的学习兴趣，而且有助于培养学生发现问题的创造潜能，为终身学习和毕生的发展奠定基础.不仅考查学生的解题能力，还要考查学生提出问题的能力，积极推动素质教育的进程.2007年上海市高考 目前，实施素质教育和创新的切入点提出数学问题正成为数学改革的焦点.在椭圆上求一点，使它与两个焦点的连线互相垂直.（2）点的坐标：，焦点顶点.（3）椭圆上的点P与焦点构成的三角形：或， 2．命题的一般化 1．在椭圆上求一点，使它与两个焦点的连线互相垂直.时，（其中） 2．在椭圆求一点，. 结论: 3．命题的充要条件 若P是椭圆上一点，它与两个焦点的连线互相垂直，即. 4．命题的运动变化状态 若点P在椭圆上运动，它与两个焦点的夹角如何变化？逐渐变小.当点P在上顶点时, 达到最大;当点P在右顶点时,达到最小. 5．命题的存在性条件 1．若椭圆,椭圆上是否存在点P使它与两个焦点的连线互相垂直.（即）时，椭圆上存在点P；当时，椭圆上不存在点P.进一步：当（即）时，椭圆上存在4个点P；当（即）时，椭圆上存在2个点P；当时，椭圆上不存在点P. 2．若椭圆,在椭圆上是否存在点P使,若存在,这样的点有几个?若不存在,说明理由. 结论：当时,椭圆上存在4个点P；当时,椭圆上存在2个点P,即短轴的端点；当时,椭圆上不存在点P. 6．命题的类比思考 把关于椭圆的命题联想到双曲线，研究类似的命题. 设双曲线为.从图象得知以双曲线的两个焦点为直径的圆与双曲线总有4个交点；从方程的思想得知方程组的解为故方程组有4组解.因此有 结论：若双曲线上必存在4个点P，它与两个焦点的连线互相垂直.：椭圆两个；③互相垂直点在椭圆上. 对该问题的. 1．变迁信息①，提 问题1若椭圆上存在一点，使它与两个焦点的连线互相垂直，求实数b的取值范围. 问题2若椭圆上存在一点，使它与两个焦点的连线互相垂直，求实数a的取值范围. 问题在椭圆上是否存在一点，使它与两个焦点的连线互相垂直.问题椭圆上存在一点与两个焦点的连线互相垂直实数. 问题在双曲线上求一点，使它与两个焦点的连线互相垂直.（2001年高考全国卷第14题）双曲线的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2,则点P到x轴的距离为 . 21题）设椭圆的两个焦点是与（），且椭圆上存在一点，使得直线与垂直，求实数的取值范围. 解说:此题 2．变迁信息②，提 问题1在椭圆上求一点P，使它与椭圆长轴的两个端点的连线互相垂直. 问题2在椭圆上是否存在一点P，使它与椭圆轴的两个端点的连线互相垂直. 问题3在椭圆上是否存在一点P，使它与椭圆任一条直径（过中心截得的线段）的两个端点的连线互相垂直. 问题4在椭圆上是否存在一点P，使它与椭圆任一条焦点弦（过焦点截得的线段）的两个端点的连线互相垂直. 问题5在椭圆上是否存在一点P，使它与椭圆的中心和顶点的连线互相垂直. 点P是椭圆上的动点，是双曲线的焦点，.求的表达式,并求当a固定时的最小值. 解说:此题 2.（2003年高考全国数学竞赛试题）在椭圆,则 . 解说:此题 3．变迁信息③，提问题1在椭圆上求一点，使它与两个焦点的连线成60°角. 问题2点P是椭圆上的动点，它与两个焦点的夹角为锐角（或钝角），求点P的. 问题在椭圆上求一点，使它与两个焦点连线角最大. 问题在椭圆上是否存在一点，使它与两个焦点连线段的积最大. 问题在椭圆上是否存在一点，使它与两个焦点连线段差的绝对值最大. 问题在椭圆上求一点，使它与两个焦点组成三角形的面积为20. 问题在椭圆上是否存在一点，使它与两个焦点组成三角形的面积为5.问题在椭圆上求一点，使它与两个焦点组成三角形的面积最大. 问题在椭圆上的点P与两个焦点组成的直角三角形的有几个？的焦点为，点P为其上的动点.当为钝角时，点P横坐标的取值范围是__________________. 解说:此题即为3.2 4．变迁信息④，提 问题4.1在椭圆上点，使它与两个焦点的连线互相垂直在椭圆上点与两个焦点的连线互相垂直在椭圆上点，使它与两个焦点的连线互相垂直是椭圆的焦点，在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为__________. 解说:此题 5．拓展各种信息，提 拓展信息椭圆①问题若椭圆上存在一点，使它与两个焦点的连线互相垂直，求实数的取值范围.（问题的一般）问题在椭圆上，它与两个点的连线互相垂直问题：点P在椭圆上运动，它与两个焦点的夹角如何变化？（问题的一般）在椭圆上点，使它与两个焦点问题在椭圆上的点P与两个焦点组成的直角三角形的有几个？在椭圆上点，使它与两个焦点的连线互相垂直在椭圆上点，使它与两个焦点的连线互相垂直在椭圆上点，使它与两个焦点的连线互