建模过程 比例性和几何相似性（齐）.pptVIP

* 一、引言(p43,仔细阅读和理解有关的概念和论述) 二、2.1数学模型(p44-51,仔细阅读和理解有关的概念和论述) 三、2.2利用比例性进行建模(p53) 四、2.3利用几何相似行进行建模(p61) 五、作业 建模过程、比例性和几何相似性 * 现实世界和数学世界 现实世界=（观察到的行为或现象） 数学世界=(模型,数学运算及规则,数学结论) 系统 系统={对象|有规律的相互作用或内在的依赖关系} 粗略的建模步骤 通过观察,识别有关实际行为的主要因素,并做适当的简化. 猜测各因素之间暂时的关系 将数学分析用于所得的结论 借助实际问题解释数学模型(结论) 获取有关现实世界系统中的结论 实际行为---(观察,简化)---模型---(分析)---数学的结论 ---(解释)---现实世界的结论-----实验----实际行为 引言 (P43,仔细阅读和理解有关的概念和论述) * 作为封闭的系统的建模过程 实际问题的数据---(数据处理，简化)---模型--- (分析)---数学结论---(解释阐明)---实际的预测或解释---（验证）---实际问题的数据 2.1 数学模型 (p44-51,仔细阅读和理解有关的概念和论述) 模型的性质 保真性:模型表示现实的精确性； 成本：建模过程的总费用； 灵活性：当收集到了所需要的数据时，改变和控制影响该模型的诸多条件的能力. * 模型构建的步骤 (链接到例题: p48例1) 第1步:识别问题（分析问题） 第2步:做出假设(?建立模型) a.变量分类(?符号说明) b.确定主变量之间的相互关系(?建立模型) 第3步:求解或解释模型 第4步:验证模型 第5步:实施模型(应用模型解决实际问题) 第6步:维修/改进模型 注：第1步,第2步具有更为艺术和原创的性质,他们包括抽象出来的所研究问题的本质特征,忽略被判定为不重要的因素以做出合适的假设(在模型的保真性和成本之间保持平衡.这些假设必须简单到能完成后面的几步). 当完成了第3步,第4步时,切记该过程很大程度上是不确切和直观的. * 例题: p48例1—这道例题展示了建模的前两步 (链接到建模的步骤处) 情景 正常驾驶条件下,10英里/时的速率允许车距为1辆车 (约5米到10米)的跟随距离. 不利天气或路况下,需要更长的跟随距离. 2秒法则测追随距离 识别问题 追随距离=停止距离 预测车辆的停止距离?预测作为速度的函数的车辆的总的停车距离. 假设 一个显然的模型: 总的停止距离=反应距离+刹车距离 * 反应距离=f(反应时间,速率) 反应时间=g(司机反应时间,系统反应时间) 司机反应时间=t(司机的反射机能,警觉程度,能见度) 在研究司机反应时间时,只能融入这些变量的平均值.这样的平均值通常来自大量的统计资料! 速率:运动物体通常作变速运动,但在极短的时间内,可认为这中运动是匀速的. 刹车距离=h(摩擦阻力,速率) 摩擦阻力=p(重量,车胎的类型和状态,路面状况,天气情况,刹车效率) ?摩擦阻力=p(重量) 刹车距离=h(重量,速率) 思考:为什么要将重量作为摩擦阻力的主因素而忽略了车胎的类型和状态,路面状况,天气情况,和刹车效率等影响刹车距离的因素 重量是主因素 * 答:一方面车胎的类型和状态,路面状况,天气情况,和刹车效率等因素,对汽车的刹车距离影响比较小,忽略它们对预测刹车距离影响不大.(较高的保真性)另一方面,如果执意要考虑这琐碎的因素,将使建模变的很困难.忽略它们,建模将变的容易些.(较低的成本) 模型简化的技巧 限制问题的识别 忽略一些变量(因素) 合并若干变量?用某个平均值来代替 令某些变量为常数 假设简单的线性关系 融入更大的假设 * 2.2利用比例性进行建模(p53) 比例性概念: y∝x当且仅当k0,有y=kx,若y∝x，则x∝y. 例如： y∝x2 ，y∝lnx ,y∝ex. 比例性的传递法则： y∝x且x∝z,则y∝z. 注：必须通过原点的直线表示比例关系 比例性作为一种简化假设 x y 比例性模型 实际关系 yp ya x y 比例性模型 实际关系 * 例:汽车停止距离 情景:已知车速和停止距离的一组数据 车速 km/h 20 40 60 80 100 120 140 停止距离 m 6.5 17.8 33.6 57.1 83.4 118.0 153.5 试参照这组数据建立停止距离和车速的数学模型 MATLAB画图代码: x=[20,40,60,80,100,120,140 ]; y=[6.5,17.8,33.6,57.1,83.4, 118.0,153.5]; scatter(x