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谢谢 * * * * * * 定理 15.1 若级数 收敛,则级数(3)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛. 证: 对任何实数x,由于 根据优级数判别法, 就能得到本定理的结论. 为进一步研究三角级数(3)的收敛性, 先讨论三角函 数系 (2) 的特性. 首先容易看出三角级数系(3)中所 其次, 在三角函数系(2)中, 任何两个不相同的函数 有函数具有共同的周期 的乘积在 上的积分等于零,即 而(2)中任何一个函数的平方在 上的积分都 不等于零, 即 若两个函数 与 在 上可积, 且 则称 与 在 上是正交的, 或在 上具有正 交性. 由此三角函数系(2)在 上具有正交性. 或者说(2)是正交函数系. 现应用三角函数系(5)的正交性来讨论三角级数(4) 的和函数 f 与级数(4)的系数 之间的关系. 定理15.2 若在整个数轴上 且等式右边级数一致收敛, 则有如下关系式: 二、以 为周期的函数的傅里叶级数 证 由定理条件, 函数 f 在 上连续且可积. 对 (9)式逐项积分得 由关系式(6)知, 上式右边括号内的积分都等于零. 所以 即 又以 乘(9)式两边 (k为正整数), 得 由级数(9)一致收敛,可得级数(11)也一致收敛(读者思考).于是对级数(11)逐项求积,得 由三角函数的正交性, 右边除了以 为系数的那一 项积分 外,其他各项积分都等于0,于是得出: 即 同理,(9)式两边乘以sin kx,并逐项积分, 可得 * * * * * * * * * *
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