关于垂直与平行的问题.doc

题目 高中数学复习专题讲座关于垂直与平行的问题 高考要求 垂直与平行是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样 本节主要帮助考生深刻理解线面平行与垂直、面面平行与垂直的判定与性质，并能利用它们解决一些问题 重难点归纳 垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系 1 平行转化 线线平行线面平行面面平行 2 垂直转化 线线垂直线面垂直面面垂直 每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的 例如 有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直 典型题例示范讲解 例1两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求证 MN∥平面BCE 命题意图 本题主要考查线面平行的判定，面面平行的判定与性质，以及一些平面几何的知识 知识依托 解决本题的关键在于找出面内的一条直线和该平面外的一条直线平行，即线(内)∥线(外)线(外)∥面 或转化为证两个平面平行 错解分析 证法二中要证线面平行，通过转化证两个平面平行，正确的找出MN所在平面是一个关键 技巧与方法 证法一利用线面平行的判定来证明 证法二采用转化思想，通过证面面平行来证线面平行 证法一 作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，则MP∥AB，NQ∥AB ∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF， ∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45° ∴Rt△MCP≌Rt△NBQ ∴MP=NQ,故四边形MPQN为平行四边形 ∴MN∥PQ ∵PQ平面BCE，MN在平面BCE外， ∴MN∥平面BCE 证法二 如图过M作MH⊥AB于H，则MH∥BC， ∴ 连结NH，由BF=AC，FN=AM，得 ∴ NH//AF//BE 由MH//BC, NH//BE得:平面MNH//平面BCE ∴MN∥平面BCE 例2在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC (1)若D是BC的中点，求证 AD⊥CC1； (2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证 截面MBC1⊥侧面BB1C1C； (3)AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C的充要条件吗？请你叙述判断理由 命题意图 本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质 知识依托 线面垂直、面面垂直的判定与性质 错解分析 (3)的结论在证必要性时，辅助线要重新作出 技巧与方法 本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条件的思考与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何巧妙作辅助线 (1)证明 ∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC ∵底面ABC⊥平面BB1C1C，∴AD⊥侧面BB1C1C ∴AD⊥CC1 (2)证明 延长B1A1与BM交于N，连结C1N ∵AM=MA1，∴NA1=A1B1 ∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1 ∴C1N⊥C1B1 ∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C，∴C1N⊥侧面BB1C1C ∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C ∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C (3)解 结论是肯定的，充分性已由(2)证明，下面证必要性 过M作ME⊥BC1于E，∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C ∴ME⊥侧面BB1C1C，又∵AD⊥侧面BB1C1C ∴ME∥AD，∴M、E、D、A共面 ∵AM∥侧面BB1C1C，∴AM∥DE ∵CC1⊥AM，∴DE∥CC1 ∵D是BC的中点，∴E是BC1的中点 ∴AM=DE=AA1，∴AM=MA1 例3 已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，A1C1=B1C1=2，D、D1分别是AB、A1B1的中点，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，异面直线AB1和C1B互相垂直 (1)求证 AB1⊥C1D1； (2)求证 AB1⊥面A1CD； (3)若AB1=3，求直线AC与平面A1CD所成的角 (1)证明 ∵A1C1=B1C1，D1是A1B1的中点， ∴C1D1⊥A1B1于D1， 又∵平面A1ABB1⊥平面A1B1C1， ∴C1D1⊥平面A1B1BA， 而AB1平面A1ABB1，∴AB1⊥C1D1 (2)证明 连结D1D， ∵D是AB中点，∴DD1CC1，∴C1D1∥CD， 由(1)得CD⊥AB1，又∵C1D1⊥平面A1ABB1，C1B⊥AB1， 由三垂线定理得BD1⊥AB1， 又∵A1D∥D1B，∴AB1⊥A1D而CD∩A1D=D，∴AB1⊥平面A1CD (3)解 由(2)AB1⊥平面A1CD于O， 连结CO1得∠ACO为直线AC与平面A1