第3章 矩阵的分解.ppt

第3章、 矩阵的分解 Matrix Factorization and Decomposition 矩阵分解的概述 矩阵的分解： A=A1+A2+…+Ak 矩阵的和 A=A1A2 …Am 矩阵的乘积 矩阵分解的原则： 实际应用的需要 §3.1 常见的矩阵标准形与分解 常见的标准形 等价标准形 相似标准形 合同标准形 一、矩阵的三角分解 方阵的LU和LDV分解（P.61） LU分解：A?Fn?n， 存在下三角形矩阵L ，上三角形矩阵U ，使得A=LU。 LDV分解：A?Fn?n， L、V分别是主对角线元素为1的下三角形和上三角形矩阵，D为对角矩阵，使得A=LDV。 已知的方法：Gauss-消元法 例题1 （P.61eg1）设 求A的LU和LDV分解。 三角分解的存在性和惟一性 定理3.1 （P.62） ： 矩阵的k 阶主子式：取矩阵的前k行、前k列得到的行列式，k=1，2， … ，n。 定理: A?Fn?n有惟一LDV分解的充要条件是A的顺序主子式Ak非零，k =1，2，…，n-1。 二、矩阵的满秩分解 定义3.2 （P.66 ） 对秩为r 的矩阵A?Fm?n ，如果存在秩为r的矩阵 B ?Fm?r，C?Fr?n ，则A=BC为A 的满秩分解。 三、可对角化矩阵的谱分解 将方阵分解成用谱加权的矩阵和 谱：设A?Fn?n ， 则A的谱={?1，?2，?，?s}。 2、 矩阵可以对角化的一个充要条件 定理3.5（P.73 ） 矩阵A可以相似对角化当且仅当矩阵A有谱分解 ，满足条件： 3. 幂等矩阵的性质 定理3 .4（P.72）P?Fn?n ，P2=P，则 矩阵PH和矩阵（I–P）仍然是幂等矩阵。 P 的谱?{0，1}，P 可相似于对角形。 Fn = N（P）? R（P） N（P）=V ?=0 ，R（P）=V?=1 P和（I – P）的关系 N（I – P）=R（P），R（ I – P ）=N（P） Hermite 矩阵的谱分解 定理3 .6（P.73）设A是秩为k的半正定的Hermite 矩阵，则A可以分解为下列半正定矩阵的和。 A=v1v1H+v2v2H+…vkvkH §3.2 Schur 分解和正规矩阵 已知：欧氏空间中的对称矩阵A可以正交 相似于对角形。 讨论：一般方阵A ，在什么条件下可以 酉相似于对角矩阵？ 在内积空间中讨论问题，涉及： 空间 Cn、 Cn?n， 酉矩阵U，UHU=I， U – 1=UH 酉相似： UHAU=J ? U–1 AU=J 一、 Schur 分解 1、 可逆矩阵的UR分解 定理3.7（P.74）A?Cn?n为可逆矩阵，则存在酉矩阵U和主对角线上元素皆正的上三角矩阵R，使得A=UR。（ 称A=UR为矩阵A的酉分解） 证明：源于Schmidt正交化方法。 例题1 求矩阵A的UR分解，其中 2 、Schur 分解 定理3.7（P.74 ）对矩阵A?Cn?n，存在酉矩阵U和上三角矩阵T，使得 UHAU=T= 二、正规矩阵（Normal Matrices） 1、 定义3.3（P.77 ）A是正规矩阵 ?AHA=AAH。 常见的正规矩阵： 对角矩阵 对称和反对称矩阵：AT=A，AT=–A。 Hermite矩阵和反Hermite矩阵：AH=A，AH=–A 正交矩阵和酉矩阵：ATA=AAT=I，AHA=AAH=I。 例题1 （P.78，eg 10）设A为正规矩阵，B酉相似于A，证明B也是正规矩阵。 2、正规矩阵的基本特性 定理3.10 （P.78 ） ： A?Cn?n正规?A酉相似于对角形。 推论：正规A?Cn?n?A有n个标准正交的特征向量构成空间Cn 的标准正交基。 定理3.11（P.80 ）（正规矩阵的谱分解） A正规?A有如下谱分解： 3、正规性质的应用举例 例题1（P.79 ，eg12） 例题2 设A?Rn?n，AT=–A，证明 A的特征值是零和纯虚数。 矩阵A的秩是偶数。 §3 ? 3 矩阵的奇异值分解 Singular value decomposition (SVD) §3?3 矩阵的奇异值分解 概述： 矩阵的奇异值分解是酉等价型的分解: A?C m×n，?酉矩阵U?C m×m, V?C n×n ,使得A=U ?VH。 矩阵A等价于?= 一、矩阵A的奇异值及其性质 1、矩阵AHA和AAH的性质： A?C m×n，AHA?C n×n，AA