附截面图形的性质 (川大《工程力学》课件).ppt

* 附 录 截面图形的性质 Appendix Properties of Plane Areas 一、 几何图形的一次矩 三、 平行移轴定理 本章内容小结 本章基本要求 二、 几何图形的二次矩 背景材料 背 景 材 料 背 景 材 料 实体形截面 薄壁杆件（闭口） 背 景 材 料 薄壁杆件（开口） 杭州湾跨海大桥梁 工程应用实例 全长36公里 总投资118亿元 钢箱梁 混凝土箱梁 2004年10月24日报道：上海外三环过街天桥在吊装完成近五分钟时突然垮塌，砸毁三辆汽车并有数人受重伤。该天桥两根长45米,宽三四米的 T 形梁断裂成数段。 工程应用实例 掌握截面图形的各类一次矩、二次矩的定义并能进行正确的计算。 熟练掌握典型截面的二次矩。 掌握形心在计算面积矩和惯性矩中所起的作用并能进行熟练的计算。 了解主惯性矩和形心主惯性矩的概念。 本 章 基 本 要 求 形心 ( center of an area ) 公式 重要结论 坐标轴通过形心，则相应的静矩为零。 一、几何图形的一次矩 y x dA y x x y dA y x x y C xC yC 面积矩（静矩）( first moment of area ) 数学工具箱 平面图形中的微元面积 直角坐标系 极坐标系 如果被积函数与 x 无关 如果被积函数与 ? 无关 y x dA dA x y r θ b y x dA dA x y r ? 例 求如图半径为 R 的四分之一圆的形心位置。 同理 x y dA r ? 形心公式 面积矩 面积 组合图形的计算 负面积法 形心公式 面积矩 面积 分割法 7a/ 2 3a/ 2 例 求如图截面的形心位置。 3a a a 3a x 5a/ 2 例 求如图截面的形心位置。 以下边缘为基准 以下边缘为基准 a a 2a a a 2a a a 2a a a 2a x a a 2a x 1.37a 形心位于左右对称轴上 形心位于左右对称轴上 惯性矩 ( moment of inertia ) 惯性积 ( product of inertia ) dA y x x y 极惯性矩 ( polar moment of inertia ) r 二、几何图形的二次矩 例 求如图三角形对 x 轴的惯性矩。 斜边的方程 h b y x h b y x dA h b y x dA 另一计算方案： 考虑如图的横向微元面积条 求如图矩形关于坐标轴的惯性矩与惯性积。 h b y x 动脑又动笔 对 x 轴的惯性矩 同理可得对 y 轴的惯性矩 对 xy 轴的惯性积 例 求如图半径为 R 的四分之一圆关于坐标轴的惯性矩和极惯性矩。 x y dA r θ 对 x 轴的惯性矩 同理可得对 y 轴的惯性矩 对原点的极惯性矩 动脑又动笔 求图形的惯性矩。 实心圆 空心圆 D x y D x y D x y d 重要数据 高为 h 宽为 b 的矩形截面对通过形心且平行于底边的坐标轴的惯性矩为 。 重要结论 坐标轴是图形的对称轴，则惯性积为零。 重要数据 实心圆截面对通过圆心的坐标轴的惯性矩 ，极惯性矩为 。 空心圆截面的惯性矩 ，极惯性矩为 为 为 ，? 为内径 与外径之比。 组合图形 组合图形的分割 组合图形的负二次矩法 例 求如图工字形截面关于水平对称轴的惯性矩。 截面可视为一个矩形与两个矩形之差。 10 10 60 60 10 10 10 60 60 10 组合图形 组合图形的分割 组合图形的负二次矩法 例 求如图工字形截面关于水平对称轴的惯性矩。 10 10 60 60 10 截面可视为三个矩形之和。 10 10 60 60 10 错在何处？ 主惯性矩 ( principal moments of inertia ) 若图形对某一对轴的惯性积为零，则称这对轴为图形的惯性主轴 ( principal axes of inertia )。 图形关于惯性主轴的惯性矩称之为主惯性矩。形心惯性主轴对应的惯性矩，称为形心主惯性矩。 如果惯性主轴通过形心，则称之为形心惯性主轴。 重要结论 若坐标轴之一是图形的对称轴，则两根坐标轴都是图形的惯性主轴。其中对称轴是形心惯性主轴。 判断图形的形心惯性主轴 分析和讨论 结论 若任意过圆心的轴都是圆的形心惯性主轴。 宽为 b 高为 h 的矩形的形心主惯性矩为多少？ 直径为 d